MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(X)=X4+aX3+bX2+cX+dP(X) = X^4 + aX^3 + bX^2 + cX + d cu coeficienți reali. Știind că P(1+i)=0P(1+i) = 0 și P(2)=10P(2) = 10, iar suma rădăcinilor este 4, determinați coeficienții a,b,c,da, b, c, d și scrieți polinomul în formă factorizată.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali și 1+i1+i este rădăcină, rezultă că 1−i1-i este și ea rădăcină.
22 puncte
Din suma rădăcinilor, care este −a-a, avem −a=4-a = 4, deci a=−4a = -4.
31 punct
Fie x1=1+ix_1 = 1+i, x2=1−ix_2 = 1-i, și fie x3x_3 și x4x_4 celelalte rădăcini. Atunci x1+x2+x3+x4=4x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 4, deci (1+i)+(1−i)+x3+x4=4(1+i)+(1-i)+x_3+x_4=4, de unde 2+x3+x4=42 + x_3 + x_4 = 4, deci x3+x4=2x_3 + x_4 = 2.
42 puncte
Din P(2)=10P(2)=10, avem 16+8a+4b+2c+d=1016 + 8a + 4b + 2c + d = 10. Cu a=−4a=-4, aceasta devine 16−32+4b+2c+d=1016 - 32 + 4b + 2c + d = 10, adică 4b+2c+d=264b + 2c + d = 26.
52 puncte
Folosim faptul că 1+i1+i și 1−i1-i sunt rădăcini, deci (X−(1+i))(X−(1−i))=X2−2X+2(X - (1+i))(X - (1-i)) = X^2 - 2X + 2 divide P(X)P(X). Din produsul tuturor rădăcinilor, care este dd, avem d=x1x2x3x4=((1+i)(1−i))x3x4=2x3x4d = x_1 x_2 x_3 x_4 = ((1+i)(1-i)) x_3 x_4 = 2 x_3 x_4. Din suma produselor rădăcinilor câte două, exprimăm bb în funcție de x3x4x_3 x_4 și folosim x3+x4=2x_3 + x_4 = 2 pentru a obține ecuații.
61 punct
Rezolvând, găsim x3x4=3x_3 x_4 = 3, deci d=6d = 6. Apoi, din 4b+2c+d=264b + 2c + d = 26 și alte relații, obținem b=6b = 6, c=−8c = -8. Astfel, P(X)=X4−4X3+6X2−8X+6P(X) = X^4 - 4X^3 + 6X^2 - 8X + 6, iar în formă factorizată, P(X)=(X2−2X+2)(X2−2X+3)P(X) = (X^2 - 2X + 2)(X^2 - 2X + 3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.