MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea S={a+b3∣a,b∈Z}S = \{a + b\sqrt{3} \mid a, b \in \mathbb{Z}\} înzestrată cu operațiile obișnuite de adunare și înmulțire a numerelor reale. Verificați dacă (S,+,⋅)(S, +, \cdot) este un inel, un domeniu de integritate sau un corp. Justificați răspunsul.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică închiderea la adunare: pentru orice x=a1+b13,y=a2+b23∈Sx = a_1 + b_1\sqrt{3}, y = a_2 + b_2\sqrt{3} \in S, x+y=(a1+a2)+(b1+b2)3∈Sx+y = (a_1+a_2) + (b_1+b_2)\sqrt{3} \in S; și la înmulțire: x⋅y=(a1a2+3b1b2)+(a1b2+a2b1)3∈Sx \cdot y = (a_1a_2 + 3b_1b_2) + (a_1b_2 + a_2b_1)\sqrt{3} \in S, deoarece a1+a2,b1+b2,a1a2+3b1b2,a1b2+a2b1∈Za_1+a_2, b_1+b_2, a_1a_2+3b_1b_2, a_1b_2+a_2b_1 \in \mathbb{Z}.
22 puncte
Se verifică proprietățile adunării: asociativitate și comutativitate decurg din proprietățile adunării numerelor reale; elementul neutru este 0=0+03∈S0 = 0 + 0\sqrt{3} \in S; inversul aditiv pentru x=a+b3x = a + b\sqrt{3} este −x=(−a)+(−b)3∈S-x = (-a) + (-b)\sqrt{3} \in S.
32 puncte
Distributivitatea înmulțirii față de adunare rezultă din distributivitatea înmulțirii numerelor reale.
42 puncte
Se verifică proprietățile înmulțirii: asociativitate și comutativitate decurg din cele ale numerelor reale; elementul neutru este 1=1+03∈S1 = 1 + 0\sqrt{3} \in S. Pentru a arăta că nu toate elementele nenule au invers multiplicativ în SS, se consideră x=2∈Sx = 2 \in S (cu a=2,b=0a=2, b=0). Presupunând că există y=c+d3∈Sy = c + d\sqrt{3} \in S astfel încât x⋅y=1x \cdot y = 1, se obține 2c+2d3=12c + 2d\sqrt{3} = 1, imposibil pentru c,d∈Zc,d \in \mathbb{Z}, deci 22 nu are invers în SS.
52 puncte
Concluzii: (S,+,⋅)(S, +, \cdot) este inel comutativ (toate proprietățile de inel sunt verificate). Nu are divizori ai lui zero deoarece dacă x⋅y=0x \cdot y = 0 cu x,y∈Sx,y \in S, atunci, considerând ca numere reale, x=0x=0 sau y=0y=0; astfel, este domeniu de integritate. Nu este corp deoarece există elemente nenule (e.g., 22) fără invers multiplicativ în SS.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.