MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere Complexe
Considerați mulțimea A={z∈C∣z=a+bi,a,b∈Z}A = \{z \in \mathbb{C} \mid z = a + bi, a,b \in \mathbb{Z}\} cu operațiile de adunare și înmulțire obișnuite ale numerelor complexe. a) Demonstrați că AA este un inel. b) Este AA un corp? Justificați. c) Determinați elementele z∈Az \in A care sunt inversabile în raport cu înmulțirea.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm că (A,+)(A, +) este grup abelian: asociativitatea adunării rezultă din asociativitatea numerelor complexe; elementul neutru este 0=0+0i∈A0 = 0 + 0i \in A; pentru fiecare a+bi∈Aa+bi \in A, elementul simetric este −a−bi∈A-a-bi \in A; comutativitatea adunării este evidentă.
23 puncte
Verificăm înmulțirea: asociativitatea rezultă din asociativitatea numerelor complexe; elementul neutru este 1=1+0i∈A1 = 1 + 0i \in A; distributivitatea înmulțirii față de adunare este satisfăcută.
32 puncte
AA nu este corp deoarece există elemente nenule fără invers în AA. Exemplu: 2=2+0i∈A2 = 2 + 0i \in A este nenul, dar inversul său 12∉A\frac{1}{2} \notin A deoarece 12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}.
42 puncte
Un element z=a+bi∈Az = a+bi \in A este inversabil dacă există w=c+di∈Aw = c+di \in A cu zw=1zw=1. Din (a+bi)(c+di)=1(a+bi)(c+di)=1 și a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}, obținem sistemul ac−bd=1ac - bd = 1 și ad+bc=0ad + bc = 0. Rezolvând, condiția este a2+b2=1a^2+b^2=1, deci a=±1,b=0a=\pm1, b=0 sau a=0,b=±1a=0, b=\pm1. Astfel, elementele inversabile sunt 1,−1,i,−i1, -1, i, -i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.