MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere Complexe
Fie mulțimea R={a+bi∣a,b∈Z}R = \{ a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z} \}, unde i2=−1i^2 = -1. Arătați că RR este un inel în raport cu adunarea și înmulțirea numerelor complexe. Este RR un corp? Justificați răspunsul și determinați elementele inversabile din RR.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Se verifică închiderea mulțimii RR față de adunare și înmulțire: pentru orice z1=a+bi,z2=c+di∈Rz_1 = a+bi, z_2 = c+di \in R, avem z1+z2=(a+c)+(b+d)i∈Rz_1 + z_2 = (a+c) + (b+d)i \in R și z1⋅z2=(ac−bd)+(ad+bc)i∈Rz_1 \cdot z_2 = (ac-bd) + (ad+bc)i \in R, deoarece a+c,b+d,ac−bd,ad+bc∈Za+c, b+d, ac-bd, ad+bc \in \mathbb{Z}. Se arată că adunarea este asociativă și comutativă, cu element neutru 0=0+0i∈R0 = 0 + 0i \in R și opus pentru fiecare element: opusul lui a+bia+bi este −a−bi∈R-a - bi \in R.
23 puncte
Se demonstrează asociativitatea înmulțirii: (z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3) pentru orice z1,z2,z3∈Rz_1, z_2, z_3 \in R, și distributivitatea înmulțirii față de adunare: z1⋅(z2+z3)=z1⋅z2+z1⋅z3z_1 \cdot (z_2 + z_3) = z_1 \cdot z_2 + z_1 \cdot z_3 și (z2+z3)⋅z1=z2⋅z1+z3⋅z1(z_2 + z_3) \cdot z_1 = z_2 \cdot z_1 + z_3 \cdot z_1.
32 puncte
RR nu este corp deoarece nu toate elementele nenule au invers în RR. De exemplu, elementul 2=2+0i∈R2 = 2 + 0i \in R este nenul, dar inversul său 12=12+0i\frac{1}{2} = \frac{1}{2} + 0i nu aparține lui RR, deoarece 12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}.
42 puncte
Un element a+bi∈Ra+bi \in R este inversabil dacă și numai dacă există c+di∈Rc+di \in R astfel încât (a+bi)(c+di)=1(a+bi)(c+di) = 1. Aceasta implică ac−bd=1ac-bd=1 și ad+bc=0ad+bc=0, cu c,d∈Zc,d \in \mathbb{Z}. Rezolvând, se obține că a2+b2a^2+b^2 trebuie să dividă 1, deci a2+b2=1a^2+b^2 = 1. Astfel, elementele inversabile sunt cele cu a2+b2=1a^2+b^2=1, adică ±1\pm 1 (când b=0b=0) și ±i\pm i (când a=0a=0).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.