MediuPolinoameClasa 9

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameSisteme de Ecuații NeliniareIdentități algebrice
Se consideră sistemul de ecuații: {x+y+z=0x2+y2+z2=6x3+y3+z3=3\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x^2 + y^2 + z^2 = 6 \\ x^3 + y^3 + z^3 = 3 \end{cases}. Fie S=x+y+zS = x+y+z, P=xy+yz+zxP = xy+yz+zx, Q=xyzQ = xyz. a) Exprimați x2+y2+z2x^2+y^2+z^2 și x3+y3+z3x^3+y^3+z^3 în funcție de SS, PP, QQ. b) Determinați PP și QQ. c) Scrieți ecuația de gradul al treilea ale cărei rădăcini sunt xx, yy, zz.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosim identitățile algebrice: x2+y2+z2=S2−2Px^2+y^2+z^2 = S^2 - 2P și x3+y3+z3=S3−3SP+3Qx^3+y^3+z^3 = S^3 - 3SP + 3Q.
24 puncte
Din date, S=0S=0, x2+y2+z2=6x^2+y^2+z^2=6, x3+y3+z3=3x^3+y^3+z^3=3. Substituim: 6=02−2P⇒−2P=6⇒P=−36 = 0^2 - 2P \Rightarrow -2P = 6 \Rightarrow P = -3. Apoi, 3=03−3⋅0⋅(−3)+3Q⇒3=3Q⇒Q=13 = 0^3 - 3 \cdot 0 \cdot (-3) + 3Q \Rightarrow 3 = 3Q \Rightarrow Q = 1.
33 puncte
Ecuația de gradul al treilea cu rădăcinile x,y,zx,y,z este t3−St2+Pt−Q=0t^3 - S t^2 + P t - Q = 0. Cu S=0S=0, P=−3P=-3, Q=1Q=1, ecuația este t3−3t−1=0t^3 - 3t - 1 = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.