MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaGeometrie Analitică
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c. Știind că parabola asociată are vârful în punctul V(2,1)V(2, 1) și că dreapta y=x+3y = x + 3 este tangentă la parabolă, determinați coeficienții aa, bb, cc. Apoi, aflați punctele de intersecție ale graficului cu axele de coordonate și calculați aria triunghiului format de aceste puncte.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Din coordonatele vârfului, avem xV=−b2a=2x_V = -\frac{b}{2a} = 2 și yV=f(2)=4a+2b+c=1y_V = f(2) = 4a + 2b + c = 1.
23 puncte
Condiția ca dreapta y=x+3y = x + 3 să fie tangentă la parabolă implică că ecuația f(x)=x+3f(x) = x + 3 are o singură soluție. Astfel, ax2+bx+c=x+3ax^2 + bx + c = x + 3 se reduce la ax2+(b−1)x+(c−3)=0ax^2 + (b-1)x + (c-3) = 0, cu discriminantul Δ=(b−1)2−4a(c−3)=0\Delta = (b-1)^2 - 4a(c-3) = 0.
32 puncte
Din xV=2x_V = 2, obținem b=−4ab = -4a. Înlocuim în ecuația 4a+2b+c=14a + 2b + c = 1 și în condiția de discriminant.
42 puncte
Rezolvăm sistemul: din b=−4ab = -4a și 4a+2(−4a)+c=14a + 2(-4a) + c = 1, avem c−4a=1  ⟹  c=4a+1c - 4a = 1 \implies c = 4a + 1. Din Δ=(−4a−1)2−4a(4a+1−3)=(4a+1)2−4a(4a−2)=16a2+8a+1−16a2+8a=16a+1=0  ⟹  a=−116\Delta = (-4a-1)^2 - 4a(4a+1-3) = (4a+1)^2 - 4a(4a-2) = 16a^2 + 8a + 1 - 16a^2 + 8a = 16a + 1 = 0 \implies a = -\frac{1}{16}. Atunci b=−4a=14b = -4a = \frac{1}{4} și c=4a+1=34c = 4a + 1 = \frac{3}{4}.
51 punct
Funcția este f(x)=−116x2+14x+34f(x) = -\frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}. Intersecția cu axa OyOy: x=0  ⟹  y=34x=0 \implies y=\frac{3}{4}, deci punctul A(0,34)A(0, \frac{3}{4}). Intersecția cu axa OxOx: y=0  ⟹  −116x2+14x+34=0  ⟺  x2−4x−12=0y=0 \implies -\frac{1}{16}x^2 + \frac{1}{4}x + \frac{3}{4}=0 \iff x^2 - 4x - 12=0, cu soluțiile x=6x=6 și x=−2x=-2, deci punctele B(6,0)B(6,0) și C(−2,0)C(-2,0). Aria triunghiului ABCABC este 12×∣BC∣×∣yA∣=12×8×34=3\frac{1}{2} \times |BC| \times |y_A| = \frac{1}{2} \times 8 \times \frac{3}{4} = 3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.