MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Fie inelul polinoamelor cu coeficienți raționali, Q[x]\mathbb{Q}[x]. a) Demonstrați că Q[x]\mathbb{Q}[x] este un inel euclidian. b) Folosind algoritmul lui Euclid, găsiți cel mai mare divizor comun al polinoamelor f(x)=x3−2x2−x+2f(x) = x^3 - 2x^2 - x + 2 și g(x)=x2−1g(x) = x^2 - 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Pentru a demonstra că Q[x]\mathbb{Q}[x] este inel euclidian, definim funcția grad, deg⁡:Q[x]∖{0}→N\deg : \mathbb{Q}[x] \setminus \{0\} \to \mathbb{N}. Pentru orice polinoame f,g∈Q[x]f, g \in \mathbb{Q}[x] cu g≠0g \neq 0, conform teoremei împărțirii cu rest, există polinoamele q,r∈Q[x]q, r \in \mathbb{Q}[x] astfel încât f=qg+rf = qg + r, cu r=0r=0 sau deg⁡r<deg⁡g\deg r < \deg g. Aceasta arată că Q[x]\mathbb{Q}[x] este euclidian cu funcția deg⁡\deg.
23 puncte
Aplicăm algoritmul lui Euclid pentru f(x)f(x) și g(x)g(x). Împărțim f(x)f(x) la g(x)g(x): f(x)=(x−2)g(x)+(−x+4)f(x) = (x-2)g(x) + (-x+4). Deci restul este r1(x)=−x+4r_1(x) = -x+4.
33 puncte
Continuăm algoritmul: împărțim g(x)g(x) la r1(x)r_1(x): g(x)=(−x−1)r1(x)+3g(x) = (-x-1)r_1(x) + 3. Restul este r2(x)=3r_2(x) = 3. Apoi împărțim r1(x)r_1(x) la r2(x)r_2(x): −x+4=(−13x+43)⋅3+0-x+4 = \left(-\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}\right) \cdot 3 + 0. Ultimul rest nenul este 33, care este asociat cu polinomul constant 11 în Q[x]\mathbb{Q}[x]. Astfel, gcd⁡(f,g)=1\gcd(f,g) = 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.