MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Fie corpul Z3={0,1,2}\mathbb{Z}_3 = \{0,1,2\} cu adunarea și înmulțirea modulo 3. Considerați inelul polinoamelor Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Determinați toate polinoamele de gradul al doilea f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c cu a,b,c∈Z3a,b,c \in \mathbb{Z}_3 și a≠0a \neq 0 care sunt ireductibile peste Z3\mathbb{Z}_3.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se listează toate polinoamele de gradul al doilea peste Z3\mathbb{Z}_3 cu a≠0a \neq 0; există 2⋅3⋅3=182 \cdot 3 \cdot 3 = 18 astfel de polinoame, deoarece aa poate fi 11 sau 22, iar bb și cc pot fi 0,1,20,1,2.
23 puncte
Un polinom de gradul al doilea peste un corp este ireductibil dacă și numai dacă nu are rădăcini în acel corp. Pentru fiecare polinom f(x)f(x), se calculează f(0),f(1),f(2)f(0), f(1), f(2) modulo 3.
33 puncte
Se identifică polinoamele pentru care niciuna dintre valorile f(0),f(1),f(2)f(0), f(1), f(2) nu este congruentă cu 00 modulo 3; acestea sunt ireductibile.
42 puncte
Se enumeră polinoamele ireductibile găsite: x2+1x^2 + 1, x2+2x^2 + 2, 2x2+12x^2 + 1, 2x2+22x^2 + 2, x2+x+2x^2 + x + 2, x2+2x+2x^2 + 2x + 2, 2x2+x+12x^2 + x + 1, 2x2+2x+12x^2 + 2x + 1. Se verifică că fiecare dintre acestea nu are rădăcini în Z3\mathbb{Z}_3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.