MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeIdentități algebrice
Se consideră polinomul P(X)=X4+pX3+qX2+rX+sP(X) = X^4 + pX^3 + qX^2 + rX + s cu coeficienți reali. Știind că P(1)=0P(1) = 0, P(i)=0P(i) = 0, și P(−i)=0P(-i) = 0, unde i2=−1i^2 = -1, iar suma rădăcinilor polinomului este 2, determinați coeficienții p,q,r,sp, q, r, s și rădăcinile sale.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Deoarece P(i)=0P(i)=0 și P(−i)=0P(-i)=0, polinomul este divizibil cu (X−i)(X+i)=X2+1(X-i)(X+i)=X^2+1. Așadar, există un polinom Q(X)=X2+aX+bQ(X)=X^2+aX+b astfel încât P(X)=(X2+1)(X2+aX+b)P(X)=(X^2+1)(X^2+aX+b).
23 puncte
Din P(1)=0P(1)=0, obținem (12+1)(12+a⋅1+b)=2(1+a+b)=0(1^2+1)(1^2+a\cdot1+b)=2(1+a+b)=0, deci a+b=−1a+b=-1. Suma rădăcinilor lui P(X)P(X) este −p-p, iar din descompunere, suma rădăcinilor este 0+(−a)0 + (-a) (deoarece rădăcinile din X2+1X^2+1 au suma 0, iar din X2+aX+bX^2+aX+b suma este −a-a), deci −p=−a-p = -a, adică p=ap=a. Dar suma rădăcinilor este dată 2, deci −p=2-p=2, de unde p=−2p=-2 și a=−2a=-2.
34 puncte
Din a=−2a=-2 și a+b=−1a+b=-1, rezultă b=1b=1. Atunci P(X)=(X2+1)(X2−2X+1)=(X2+1)(X−1)2P(X)=(X^2+1)(X^2-2X+1)=(X^2+1)(X-1)^2. Coeficienții: p=−2p=-2, q=2q=2, r=−2r=-2, s=1s=1. Rădăcinile: x1=ix_1=i, x2=−ix_2=-i, x3=x4=1x_3=x_4=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.