MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorTrigonometrieIntegrale definite
Fie f:[−a,a]→Rf:[-a, a] \to \mathbb{R} o funcție continuă, cu a>0a > 0. Se știe că ff este impară, adică f(−x)=−f(x)f(-x) = -f(x) pentru orice x∈[−a,a]x \in [-a, a]. Calculați integrala ∫−aaf(x)1+ex dx\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1 + e^{x}} \, dx.

Rezolvare completă

22 puncte · 12 pași
13 puncte
Scrieți integrala ca sumă de două integrale pe intervale simetrice: ∫−aaf(x)1+ex dx=∫−a0f(x)1+ex dx+∫0af(x)1+ex dx\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1 + e^{x}} \, dx = \int_{-a}^{0} \frac{f(x)}{1 + e^{x}} \, dx + \int_{0}^{a} \frac{f(x)}{1 + e^{x}} \, dx.\n
23 puncte
În prima integrală, faceți schimbarea de variabilă x=−tx = -t, deci dx=−dtdx = -dt, iar limitele devin de la aa la 00. Obțineți: ∫−a0f(x)1+ex dx=∫a0f(−t)1+e−t (−dt)=∫0a−f(t)1+e−t dt\int_{-a}^{0} \frac{f(x)}{1 + e^{x}} \, dx = \int_{a}^{0} \frac{f(-t)}{1 + e^{-t}} \, (-dt) = \int_{0}^{a} \frac{-f(t)}{1 + e^{-t}} \, dt, folosind că ff este impară.\n
32 puncte
Simplificați expresia: ∫0a−f(t)1+e−t dt=−∫0af(t)1+e−t dt\int_{0}^{a} \frac{-f(t)}{1 + e^{-t}} \, dt = -\int_{0}^{a} \frac{f(t)}{1 + e^{-t}} \, dt.\n
42 puncte
Adunați cele două integrale: ∫−aaf(x)1+ex dx=−∫0af(t)1+e−t dt+∫0af(t)1+et dt=∫0af(t)(11+et−11+e−t) dt\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1 + e^{x}} \, dx = -\int_{0}^{a} \frac{f(t)}{1 + e^{-t}} \, dt + \int_{0}^{a} \frac{f(t)}{1 + e^{t}} \, dt = \int_{0}^{a} f(t) \left( \frac{1}{1 + e^{t}} - \frac{1}{1 + e^{-t}} \right) \, dt.\n
51 punct
Calculați diferența: 11+et−11+e−t=11+et−etet+1=1−et1+et\frac{1}{1 + e^{t}} - \frac{1}{1 + e^{-t}} = \frac{1}{1 + e^{t}} - \frac{e^{t}}{e^{t} + 1} = \frac{1 - e^{t}}{1 + e^{t}}.\n
61 punct
Observați că 1−et1+et=−et−1et+1=−tanh⁡(t2)\frac{1 - e^{t}}{1 + e^{t}} = -\frac{e^{t} - 1}{e^{t} + 1} = -\tanh\left(\frac{t}{2}\right), dar nu este necesar. Integrala devine ∫0af(t)⋅1−et1+et dt\int_{0}^{a} f(t) \cdot \frac{1 - e^{t}}{1 + e^{t}} \, dt. Dacă ff este continuă și impară, integrala totală este 00 deoarece funcția de integrat este produsul dintre o funcție impară f(t)f(t) și o funcție pară sau altă proprietate? Corect: 1−et1+et\frac{1 - e^{t}}{1 + e^{t}} este o funcție impară? Verificați: 1−e−t1+e−t=et−1et+1=−1−et1+et\frac{1 - e^{-t}}{1 + e^{-t}} = \frac{e^{t} - 1}{e^{t} + 1} = -\frac{1 - e^{t}}{1 + e^{t}}, deci este impară. Atunci produsul f(t)⋅1−et1+etf(t) \cdot \frac{1 - e^{t}}{1 + e^{t}} este produs de două funcții impare, deci este par. Integrala pe [0,a][0,a] nu este neapărat zero. Dar din calculele anterioare, se poate simplifica mai direct: 11+et−11+e−t=11+et−et1+et=1−et1+et=−et−1et+1\frac{1}{1 + e^{t}} - \frac{1}{1 + e^{-t}} = \frac{1}{1 + e^{t}} - \frac{e^{t}}{1 + e^{t}} = \frac{1 - e^{t}}{1 + e^{t}} = -\frac{e^{t} - 1}{e^{t} + 1}. Integrala totală devine ∫0af(t)⋅1−et1+et dt\int_{0}^{a} f(t) \cdot \frac{1 - e^{t}}{1 + e^{t}} \, dt. Dacă ff este impară, această integrală nu are o proprietate simplă generală. Însă, din pașii 1-4, putem rescrie integrala originală ca ∫0af(t)(11+et−11+e−t)dt=∫0af(t)⋅1−et1+etdt\int_{0}^{a} f(t) \left( \frac{1}{1 + e^{t}} - \frac{1}{1 + e^{-t}} \right) dt = \int_{0}^{a} f(t) \cdot \frac{1 - e^{t}}{1 + e^{t}} dt. Nu se poate concluziona că este zero fără ipoteze suplimentare. Dar exercițiul este de calcul; se poate lăsa în această formă sau se poate specifica că integrala este 00 dacă ff este impară? Verificăm cu un exemplu simplu: f(x)=xf(x) = x, impară, a=1a=1. Atunci ∫−11x1+exdx\int_{-1}^{1} \frac{x}{1+e^x} dx: folosind schimbarea x=−tx=-t în jumătatea negativă, se obține ∫01x(11+ex−11+e−x)dx=∫01x⋅1−ex1+exdx\int_{0}^{1} x \left( \frac{1}{1+e^x} - \frac{1}{1+e^{-x}} \right) dx = \int_{0}^{1} x \cdot \frac{1-e^x}{1+e^x} dx, care nu este zero. Deci răspunsul final nu este zero. Corect: integrala originală se reduce la ∫0af(x)⋅1−ex1+ex dx\int_{0}^{a} f(x) \cdot \frac{1-e^x}{1+e^x} \, dx. Așadar, baremul trebuie ajustat: step 6: integrala se simplifică la ∫0af(x)⋅1−ex1+ex dx\int_{0}^{a} f(x) \cdot \frac{1-e^x}{1+e^x} \, dx, și se oprește aici. Punctaj: step 1: 2p, step 2: 2p, step 3: 1p, step 4: 2p, step 5: 2p, step 6: 1p. Total 10p. Reformulez baremul:
12 puncte
Împărțiți integrala: ∫−aa=∫−a0+∫0a\int_{-a}^{a} = \int_{-a}^{0} + \int_{0}^{a}.
22 puncte
În prima integrală, faceți schimbarea x=−tx = -t, obțineți ∫0a−f(t)1+e−tdt\int_{0}^{a} \frac{-f(t)}{1+e^{-t}} dt.
31 punct
Scrieți integrala totală ca ∫0af(t)1+etdt−∫0af(t)1+e−tdt\int_{0}^{a} \frac{f(t)}{1+e^{t}} dt - \int_{0}^{a} \frac{f(t)}{1+e^{-t}} dt.
42 puncte
Combinați integralele: ∫0af(t)(11+et−11+e−t)dt\int_{0}^{a} f(t) \left( \frac{1}{1+e^{t}} - \frac{1}{1+e^{-t}} \right) dt.
52 puncte
Simplificați expresia din paranteză: 11+et−11+e−t=1−et1+et\frac{1}{1+e^{t}} - \frac{1}{1+e^{-t}} = \frac{1-e^{t}}{1+e^{t}}.
61 punct
Concluzie: ∫−aaf(x)1+exdx=∫0af(x)⋅1−ex1+exdx\int_{-a}^{a} \frac{f(x)}{1+e^{x}} dx = \int_{0}^{a} f(x) \cdot \frac{1-e^{x}}{1+e^{x}} dx.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.