MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
Să se rezolve sistemul de ecuații: {log⁡xy+log⁡yx=52x2+y2=20\begin{cases} \log_x y + \log_y x = \frac{5}{2} \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}, unde x>0x > 0, x≠1x \neq 1, y>0y > 0, y≠1y \neq 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Folosind formula de schimbare a bazei, log⁡yx=1log⁡xy\log_y x = \frac{1}{\log_x y}, prima ecuație devine log⁡xy+1log⁡xy=52\log_x y + \frac{1}{\log_x y} = \frac{5}{2}.
23 puncte
Notăm t=log⁡xyt = \log_x y și obținem t+1t=52t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}. Aducem la același numitor: 2t2+2=5t2t^2 + 2 = 5t, deci 2t2−5t+2=02t^2 - 5t + 2 = 0. Soluțiile sunt t1=2t_1 = 2 și t2=12t_2 = \frac{1}{2}.
32 puncte
Pentru t=2t = 2, avem log⁡xy=2\log_x y = 2, deci y=x2y = x^2. Înlocuim în a doua ecuație: x2+(x2)2=20x^2 + (x^2)^2 = 20, adică x2+x4=20x^2 + x^4 = 20. Notăm u=x2u = x^2: u+u2=20u + u^2 = 20, deci u2+u−20=0u^2 + u - 20 = 0. Soluțiile sunt u1=4u_1 = 4 și u2=−5u_2 = -5, dar u>0u > 0, deci u=4u = 4, atunci x2=4x^2 = 4, x=2x = 2 (deoarece x>0x > 0), și y=4y = 4.
42 puncte
Pentru t=12t = \frac{1}{2}, avem log⁡xy=12\log_x y = \frac{1}{2}, deci y=x1/2y = x^{1/2}. Înlocuim în a doua ecuație: x2+(x1/2)2=20x^2 + (x^{1/2})^2 = 20, adică x2+x=20x^2 + x = 20, deci x2+x−20=0x^2 + x - 20 = 0. Soluțiile sunt x1=4x_1 = 4 și x2=−5x_2 = -5, dar x>0x > 0, deci x=4x = 4, atunci y=4=2y = \sqrt{4} = 2. Soluțiile sistemului sunt (x,y)=(2,4)(x,y) = (2,4) și (4,2)(4,2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.