MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere ComplexeTrigonometrie
Fie G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} mulțimea numerelor complexe de modul 1. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea numerelor complexe. Determinați subgrupul generat de elementul z=eiπ4z = e^{i\frac{\pi}{4}} și arătați că este ciclic.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: Pentru orice z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1, atunci ∣z1⋅z2∣=∣z1∣∣z2∣=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| |z_2| = 1, deci z1z2∈Gz_1 z_2 \in G.
21 punct
Asociativitatea este moștenită de la înmulțirea numerelor complexe.
31 punct
Elementul neutru este 11, cu ∣1∣=1|1| = 1.
42 puncte
Pentru orice z∈Gz \in G, ∣z∣=1|z| = 1, deci inversa z−1=zˉz^{-1} = \bar{z} are modul 11, deci z−1∈Gz^{-1} \in G.
54 puncte
Subgrupul generat de zz este ⟨z⟩={zk∣k∈Z}\langle z \rangle = \{ z^k \mid k \in \mathbb{Z} \}. Deoarece z=eiπ/4z = e^{i\pi/4}, puterile sale sunt zk=eikπ/4z^k = e^{i k \pi/4}. Pentru k=0,1,…,7k=0,1,\dots,7, obținem elemente distincte, iar z8=ei2π=1z^8 = e^{i2\pi} = 1. Deci ⟨z⟩\langle z \rangle are ordinul 8 și este ciclic.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.