MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} se definește operația ∗* prin a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab pentru orice a,b∈Ma, b \in M. Demonstrați că (M,∗)(M, *) este un grup abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Închiderea: pentru a,b∈Ma, b \in M, a∗b=a+b−aba * b = a + b - ab. Presupunem prin absurd că a∗b=1a * b = 1, atunci a+b−ab=1⇒(a−1)(1−b)=0a + b - ab = 1 \Rightarrow (a-1)(1-b) = 0, deci a=1a=1 sau b=1b=1, contradicție cu a,b∈Ma, b \in M. Astfel a∗b∈Ma * b \in M.
22 puncte
Asociativitatea: pentru a,b,c∈Ma, b, c \in M, calculăm (a∗b)∗c=(a+b−ab)+c−(a+b−ab)c=a+b+c−ab−ac−bc+abc(a * b) * c = (a + b - ab) + c - (a + b - ab)c = a + b + c - ab - ac - bc + abc și a∗(b∗c)=a+(b+c−bc)−a(b+c−bc)=a+b+c−bc−ab−ac+abca * (b * c) = a + (b + c - bc) - a(b + c - bc) = a + b + c - bc - ab - ac + abc, deci sunt egale.
32 puncte
Elementul neutru: căutăm e∈Me \in M cu a∗e=aa * e = a. Din a∗e=a+e−ae=a⇒e(1−a)=0a * e = a + e - ae = a \Rightarrow e(1-a) = 0. Pentru a≠1a \neq 1, avem e=0e=0. Verificăm: 0∈M0 \in M și a∗0=a+0−a⋅0=aa * 0 = a + 0 - a \cdot 0 = a.
42 puncte
Inversul: pentru a∈Ma \in M, căutăm a′∈Ma' \in M cu a∗a′=0a * a' = 0. Din a+a′−aa′=0⇒a′(1−a)=−a⇒a′=aa−1a + a' - a a' = 0 \Rightarrow a'(1 - a) = -a \Rightarrow a' = \frac{a}{a-1}. Deoarece a≠1a \neq 1, a′∈Ra' \in \mathbb{R}, și dacă a′=1a' = 1, atunci aa−1=1⇒a=a−1⇒0=−1\frac{a}{a-1} = 1 \Rightarrow a = a-1 \Rightarrow 0 = -1, imposibil. Deci a′∈Ma' \in M.
52 puncte
Comutativitatea: pentru a,b∈Ma, b \in M, a∗b=a+b−ab=b+a−ba=b∗aa * b = a + b - ab = b + a - ba = b * a, deci operația este comutativă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.