MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea R={a+bi∣a,b∈Z}R = \{a + bi \mid a, b \in \mathbb{Z}\}, unde i2=−1i^2 = -1. Se consideră operațiile de adunare și înmulțire obișnuite pentru numere complexe. a) Demonstrați că (R,+,⋅)(R, +, \cdot) este un inel. b) Este (R,+,⋅)(R, +, \cdot) un corp? Justificați. c) Determinați toate elementele inversabile din inelul RR.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Se verifică închiderea față de adunare și înmulțire: pentru orice a+bi,c+di∈Ra+bi, c+di \in R, (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i∈R(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i \in R și (a+bi)(c+di)=(ac−bd)+(ad+bc)i∈R(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i \in R, deoarece a,b,c,d∈Za,b,c,d \in \mathbb{Z}. Adunarea este asociativă și comutativă, fiind operația obișnuită pe numere complexe.
22 puncte
Elementul neutru la adunare este 0+0i∈R0+0i \in R. Pentru orice a+bi∈Ra+bi \in R, opusul este −a−bi∈R-a-bi \in R.
32 puncte
Înmulțirea este asociativă și distributivă față de adunare, proprietăți moștenite de la numerele complexe. Elementul neutru la înmulțire este 1+0i∈R1+0i \in R.
42 puncte
(R,+,⋅)(R, +, \cdot) nu este corp, deoarece există elemente nenule care nu au invers multiplicativ în RR. De exemplu, 2+0i≠02+0i \neq 0 dar inversul său 12\frac{1}{2} nu este în RR, căci 12∉Z\frac{1}{2} \notin \mathbb{Z}.
51 punct
Un element a+bi∈Ra+bi \in R este inversabil dacă există c+di∈Rc+di \in R cu (a+bi)(c+di)=1(a+bi)(c+di)=1. Aceasta implică (a+bi)(a−bi)=a2+b2=1(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2=1 în normă, deci a2+b2=1a^2+b^2=1. Cum a,b∈Za,b \in \mathbb{Z}, singurele soluții sunt a=±1,b=0a=\pm1, b=0 și a=0,b=±1a=0, b=\pm1, deci elementele inversabile sunt ±1\pm1 și ±i\pm i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.