MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie mulțimea M={x∈R∣x>−1}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > -1 \} și legea de compoziție ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx*y = x + y + xy, pentru orice x,y∈Mx,y \in M. Verificați dacă (M,∗)(M, *) este grup. În caz afirmativ, determinați inversul unui element a∈Ma \in M.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică închiderea: pentru x,y>−1x,y > -1, avem x∗y=x+y+xy>−1x*y = x + y + xy > -1.
22 puncte
Se demonstrează asociativitatea: (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x*y)*z = x*(y*z) pentru orice x,y,z∈Mx,y,z \in M.
32 puncte
Se determină elementul neutru ee: din x∗e=xx*e = x rezultă e=0e = 0.
42 puncte
Se determină inversul lui aa: din a∗x=0a*x = 0 rezultă x=−a1+ax = \frac{-a}{1+a}.
52 puncte
Se concluzionează că (M,∗)(M, *) este grup și se scrie inversul.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.