MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compoziție
Fie (G,⋅)(G, \cdot) un grup. Demonstrați că mulțimea H={x∈G∣x⋅a=a⋅x pentru orice a∈G}H = \{ x \in G \mid x \cdot a = a \cdot x \text{ pentru orice } a \in G \} este subgrup al lui GG.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
HH este nevidă. Elementul neutru e∈Ge \in G satisface e⋅a=a⋅ee \cdot a = a \cdot e pentru orice a∈Ga \in G, deci e∈He \in H.
23 puncte
Închiderea față de operația grupului. Fie x,y∈Hx, y \in H. Pentru orice a∈Ga \in G, avem (x⋅y)⋅a=x⋅(y⋅a)=x⋅(a⋅y)=(x⋅a)⋅y=(a⋅x)⋅y=a⋅(x⋅y)(x \cdot y) \cdot a = x \cdot (y \cdot a) = x \cdot (a \cdot y) = (x \cdot a) \cdot y = (a \cdot x) \cdot y = a \cdot (x \cdot y). Astfel, x⋅y∈Hx \cdot y \in H.
33 puncte
Existența inverselor. Fie x∈Hx \in H. Pentru orice a∈Ga \in G, din x⋅a=a⋅xx \cdot a = a \cdot x, înmulțind la stânga cu x−1x^{-1} și la dreapta cu x−1x^{-1}, obținem x−1⋅(x⋅a)⋅x−1=x−1⋅(a⋅x)⋅x−1x^{-1} \cdot (x \cdot a) \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot (a \cdot x) \cdot x^{-1}, ceea ce dă a⋅x−1=x−1⋅aa \cdot x^{-1} = x^{-1} \cdot a. Prin urmare, x−1∈Hx^{-1} \in H.
42 puncte
Concluzia. HH este nevidă, închisă față de operația grupului și conține inversele elementelor sale, deci este subgrup al lui GG.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.