MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați în mulțimea numerelor reale pozitive sistemul de ecuații: {ln⁡(x)+ln⁡(y)=ln⁡(12)x2+y2=25\begin{cases} \ln(x) + \ln(y) = \ln(12) \\ x^2 + y^2 = 25 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aplicăm proprietatea logaritmilor: ln⁡(x)+ln⁡(y)=ln⁡(xy)\ln(x) + \ln(y) = \ln(xy), deci ln⁡(xy)=ln⁡(12)\ln(xy) = \ln(12), ceea ce implică xy=12xy=12.
23 puncte
Din x2+y2=25x^2 + y^2 = 25 și xy=12xy=12, calculăm (x+y)2=x2+y2+2xy=25+24=49(x+y)^2 = x^2 + y^2 + 2xy = 25 + 24 = 49, deci x+y=7x+y=7 (deoarece xx și yy sunt pozitive).
32 puncte
Formăm ecuația de gradul al doilea: t2−7t+12=0t^2 - 7t + 12 = 0.
42 puncte
Rezolvăm ecuația: discriminantul Δ=49−48=1\Delta = 49 - 48 = 1, soluțiile t1=3t_1 = 3, t2=4t_2 = 4. Astfel, perechile de soluții sunt (3,4)(3,4) și (4,3)(4,3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.