MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorTrigonometriePrimitive
Calculați integrala definită ∫−ππ(sin⁡3x+cos⁡2x)dx\int_{-\pi}^{\pi} ( \sin^3 x + \cos^2 x ) dx utilizând proprietățile funcțiilor pare și impare.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Identificăm funcțiile: sin⁡3x\sin^3 x este impară, cos⁡2x\cos^2 x este pară.
23 puncte
Integrala unei funcții impare pe interval simetric față de origine este 0, deci ∫−ππsin⁡3xdx=0\int_{-\pi}^{\pi} \sin^3 x dx = 0.
33 puncte
Pentru cos⁡2x\cos^2 x, folosim identitatea trigonometrică cos⁡2x=1+cos⁡2x2\cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2}. Atunci ∫−ππcos⁡2xdx=∫−ππ1+cos⁡2x2dx=12∫−ππ1dx+12∫−ππcos⁡2xdx\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 x dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{1 + \cos 2x}{2} dx = \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} 1 dx + \frac{1}{2} \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2x dx. Integrala lui cos⁡2x\cos 2x pe interval simetric este 0 (funcție pară, dar integrala pe perioadă completă a cosinusului cu argument dublu este 0), iar ∫−ππ1dx=2π\int_{-\pi}^{\pi} 1 dx = 2\pi, deci rezultatul este π\pi.
42 puncte
Sumăm rezultatele: 0+π=π0 + \pi = \pi.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.