MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoameLegi de compoziție
Consideră inelul (Z6,+,⋅)(\mathbb{Z}_6, +, \cdot) cu adunarea și înmulțirea modulo 6. Arată că (Z6,+,⋅)(\mathbb{Z}_6, +, \cdot) nu este corp. Determină toate elementele inversabile din acest inel. Apoi, în inelul de polinoame Z6[x]\mathbb{Z}_6[x], studiază polinomul f(x)=x2+3x+2f(x) = x^2 + 3x + 2 și verifică dacă este ireductibil peste Z6\mathbb{Z}_6.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Verificarea axiomelor inelului pentru Z6\mathbb{Z}_6 (adunarea și înmulțirea sunt operații interne, asociative, comutative pentru adunare, există element neutru 0 pentru adunare și 1 pentru înmulțire, distributivitate) și observația că există divizori ai lui zero (de exemplu, 2⋅3=02 \cdot 3 = 0), deci Z6\mathbb{Z}_6 nu este corp.
23 puncte
Determinarea elementelor inversabile: un element a∈Z6a \in \mathbb{Z}_6 este inversabil dacă există bb cu a⋅b≡1mod  6a \cdot b \equiv 1 \mod 6. Elementele inversabile sunt 11 și 55, deoarece 1⋅1=11 \cdot 1 = 1 și 5⋅5=25≡1mod  65 \cdot 5 = 25 \equiv 1 \mod 6.
34 puncte
În Z6[x]\mathbb{Z}_6[x], verificarea factorizării polinomului f(x)=x2+3x+2f(x) = x^2 + 3x + 2. Se calculează f(x)f(x) pentru diferite valori sau se factorizează: f(x)=(x+1)(x+2)f(x) = (x+1)(x+2) în Z6\mathbb{Z}_6, deoarece (x+1)(x+2)=x2+3x+2(x+1)(x+2) = x^2 + 3x + 2. Astfel, f(x)f(x) este reductibil, nu ireductibil peste Z6\mathbb{Z}_6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.