MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definiteFuncția de gradul al II-lea
Fie funcția f:[−1,2]→Rf: [-1,2] \to \mathbb{R}, f(x)=∣x∣−x2f(x) = |x| - x^2. Calculați ∫−12f(x)dx\int_{-1}^{2} f(x) dx utilizând proprietățile integralelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Descompuneți funcția în intervale: pentru x∈[−1,0)x \in [-1,0), f(x)=−x−x2f(x) = -x - x^2, iar pentru x∈[0,2]x \in [0,2], f(x)=x−x2f(x) = x - x^2. Scrieți integrala ca ∫−12f(x)dx=∫−10(−x−x2)dx+∫02(x−x2)dx\int_{-1}^{2} f(x) dx = \int_{-1}^{0} (-x - x^2) dx + \int_{0}^{2} (x - x^2) dx.
23 puncte
Calculați ∫−10(−x−x2)dx=[−x22−x33]−10=0−(−12−−13)=12−13=16\int_{-1}^{0} (-x - x^2) dx = \left[ -\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( -\frac{1}{2} - \frac{-1}{3} \right) = \frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1}{6}.
33 puncte
Calculați ∫02(x−x2)dx=[x22−x33]02=(42−83)−0=2−83=−23\int_{0}^{2} (x - x^2) dx = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2} = \left( \frac{4}{2} - \frac{8}{3} \right) - 0 = 2 - \frac{8}{3} = -\frac{2}{3}.
41 punct
Sumați rezultatele: 16+(−23)=16−46=−36=−12\frac{1}{6} + \left( -\frac{2}{3} \right) = \frac{1}{6} - \frac{4}{6} = -\frac{3}{6} = -\frac{1}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.