MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Fie funcția f(x)=x2+mx+nf(x) = x^2 + mx + n, cu m,n∈Rm, n \in \mathbb{R}. Știind că ecuația f(x)=0f(x) = 0 are rădăcinile reale distincte x1x_1 și x2x_2 astfel încât x12+x22=10x_1^2 + x_2^2 = 10 și x1x2=3x_1 x_2 = 3, determinați mm și nn. Apoi, studiați monotonia funcției ff pe intervalul (−∞,1](-\infty, 1].

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Folosim relațiile Viète: x1+x2=−mx_1 + x_2 = -m și x1x2=nx_1 x_2 = n. Exprimăm x12+x22=(x1+x2)2−2x1x2=m2−2n=10x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1 x_2 = m^2 - 2n = 10.
23 puncte
Din x1x2=3x_1 x_2 = 3, avem n=3n=3. Înlocuim în m2−2n=10m^2 - 2n = 10, obținând m2−6=10m^2 - 6 = 10, deci m2=16m^2 = 16 și m=4m = 4 sau m=−4m = -4.
34 puncte
Pentru m=4m=4, vârful este la xV=−2x_V = -2; deoarece coeficientul lui x2x^2 este pozitiv, funcția este descrescătoare pe (−∞,−2](-\infty, -2] și crescătoare pe [−2,∞)[-2, \infty). Pe (−∞,1](-\infty, 1], ea este descrescătoare pe (−∞,−2](-\infty, -2] și crescătoare pe [−2,1][-2,1]. Pentru m=−4m=-4, vârful este la xV=2x_V = 2, iar pe (−∞,1]⊂(−∞,2](-\infty, 1] \subset (-\infty, 2], funcția este strict descrescătoare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.