MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Știind că ∫−11f(x) dx=4\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 4 și ∫01f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3, determinați valorile lui aa, bb și cc.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți integrala definită pentru f(x)f(x) folosind liniaritatea: ∫−11f(x) dx=a∫−11x2 dx+b∫−11x dx+c∫−111 dx\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = a\int_{-1}^{1} x^2 \, dx + b\int_{-1}^{1} x \, dx + c\int_{-1}^{1} 1 \, dx și calculați ∫−11x2 dx=23\int_{-1}^{1} x^2 \, dx = \frac{2}{3}, ∫−11x dx=0\int_{-1}^{1} x \, dx = 0, ∫−111 dx=2\int_{-1}^{1} 1 \, dx = 2, obținând 2a3+2c=4\frac{2a}{3} + 2c = 4.
23 puncte
Pentru ∫01f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3, scrieți a∫01x2 dx+b∫01x dx+c∫011 dx=3a\int_{0}^{1} x^2 \, dx + b\int_{0}^{1} x \, dx + c\int_{0}^{1} 1 \, dx = 3, cu ∫01x2 dx=13\int_{0}^{1} x^2 \, dx = \frac{1}{3}, ∫01x dx=12\int_{0}^{1} x \, dx = \frac{1}{2}, ∫011 dx=1\int_{0}^{1} 1 \, dx = 1, deci a3+b2+c=3\frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = 3.
34 puncte
Rezolvați sistemul {2a3+2c=4a3+b2+c=3\begin{cases} \frac{2a}{3} + 2c = 4 \\ \frac{a}{3} + \frac{b}{2} + c = 3 \end{cases}; din prima ecuație, a+3c=6a + 3c = 6; înlocuiți în a doua: 6−3c3+b2+c=3⇒2−c+b2+c=3⇒b2=1⇒b=2\frac{6 - 3c}{3} + \frac{b}{2} + c = 3 \Rightarrow 2 - c + \frac{b}{2} + c = 3 \Rightarrow \frac{b}{2} = 1 \Rightarrow b = 2; apoi a=6−3ca = 6 - 3c; pentru a găsi aa și cc, folosiți o condiție suplimentară din enunț, dar sistemul are două ecuații și trei necunoscute, deci este nedeterminat; observați că din ∫−11f(x) dx=4\int_{-1}^{1} f(x) \, dx = 4, coeficientul bb nu influențează datorită imparității, iar din ∫01f(x) dx=3\int_{0}^{1} f(x) \, dx = 3, obținem b=2b=2 și relația a+3c=6a + 3c = 6; pentru a determina unic, se poate presupune c=0c=0 din simplitate sau se cere o valoare particulară; în barem, se acceptă soluția b=2b=2, a=6−3ca=6-3c cu cc real arbitrar, sau dacă se impune f(0)=0f(0)=0 etc., dar în context, se poate alege c=1c=1 pentru a obține a=3a=3; punctajul complet pentru pașii corecți.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.