MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Fie R=R[x]R = \mathbb{R}[x] mulțimea polinoamelor cu coeficienți reali în nedeterminata xx. Cu adunarea și înmulțirea obișnuite de polinoame, arătați că RR este un inel. Este RR un corp? Justificați. Considerați polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 și mulțimea I={f(x)⋅g(x)∣g(x)∈R}I = \{f(x) \cdot g(x) \mid g(x) \in R\}. Verificați dacă II este un ideal în RR.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
(R,+)(R, +) este grup abelian: adunarea polinoamelor este asociativă și comutativă; elementul neutru este polinomul zero 00; pentru fiecare polinom p(x)∈Rp(x) \in R, elementul simetric este −p(x)∈R-p(x) \in R.
23 puncte
Înmulțirea polinoamelor este asociativă și are element neutru polinomul constant 11; distributivitatea față de adunare este verificată.
32 puncte
RR nu este corp deoarece polinoamele de grad pozitiv nu au inverse multiplicative în RR. Exemplu: x∈Rx \in R este nenul, dar inversul său 1x\frac{1}{x} nu este un polinom cu coeficienți reali.
42 puncte
Pentru a arăta că II este ideal, verificăm: dacă p(x),q(x)∈Ip(x), q(x) \in I, atunci există g(x),h(x)∈Rg(x), h(x) \in R cu p(x)=f(x)g(x)p(x)=f(x)g(x) și q(x)=f(x)h(x)q(x)=f(x)h(x), deci p(x)+q(x)=f(x)(g(x)+h(x))∈Ip(x)+q(x)=f(x)(g(x)+h(x)) \in I; dacă r(x)∈Rr(x) \in R și p(x)∈Ip(x) \in I, atunci r(x)p(x)=f(x)(g(x)r(x))∈Ir(x)p(x)=f(x)(g(x)r(x)) \in I. Astfel, II este ideal.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.