MediuDomeniul de definiție al funcțiilorClasa 10

Problemă rezolvată de Domeniul de definiție al funcțiilor

MediuDomeniul de definiție al funcțiilorLogaritmiEcuații logaritmice
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=log⁡2(x−1x+1)f(x) = \log_2 \left( \frac{x-1}{x+1} \right). a) Determinați domeniul de definiție al funcției ff. b) Rezolvați inecuația f(x)≤1f(x) \leq 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Condiția pentru domeniu este ca argumentul logaritmului să fie pozitiv: x−1x+1>0\frac{x-1}{x+1} > 0. Se rezolvă inegalitatea rațională folosind metoda semnului. Se obține x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty), deci Df=(−∞,−1)∪(1,∞)D_f = (-\infty, -1) \cup (1, \infty).
23 puncte
Inecuația f(x)≤1f(x) \leq 1 devine log⁡2(x−1x+1)≤1\log_2 \left( \frac{x-1}{x+1} \right) \leq 1. Aplicând proprietățile logaritmilor, se obține x−1x+1≤21=2\frac{x-1}{x+1} \leq 2^1 = 2, cu condiția x−1x+1>0\frac{x-1}{x+1} > 0. Se rezolvă inegalitatea x−1x+1≤2\frac{x-1}{x+1} \leq 2.
33 puncte
Se aduce inegalitatea la forma x−1x+1−2≤0\frac{x-1}{x+1} - 2 \leq 0, adică x−1−2(x+1)x+1≤0\frac{x-1 - 2(x+1)}{x+1} \leq 0, deci −x−3x+1≤0\frac{-x - 3}{x+1} \leq 0. Se rezolvă această inegalitate rațională și se intersectează soluția cu domeniul DfD_f, obținând x∈(−∞,−3]∪(−1,1)∪[1,∞)x \in (-\infty, -3] \cup (-1, 1) \cup [1, \infty), dar din DfD_f, x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty), deci soluția finală este x∈(−∞,−3]∪(1,∞)x \in (-\infty, -3] \cup (1, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Domeniul de definiție al funcțiilor

Ușor#1Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=2x−x2y = \sqrt{2x - x^2}.
Mediu#2Domeniul de definiție al funcțiilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−x+1y = \sqrt{x - \sqrt{x + 1}}.
Mediu#3Domeniul de definiție al funcțiilorEcuații iraționale
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x−1+6−xy = \sqrt{x - 1 + \sqrt{6 - x}}.
Ușor#4Domeniul de definiție al funcțiilorFuncția de gradul al II-lea
Determinați domeniul de definiție al funcției y=x2−5x+6y = \sqrt{x^2 - 5x + 6}.
Vezi toate problemele de Domeniul de definiție al funcțiilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Domeniul de definiție al funcțiilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.