MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul de ecuații: {log⁡xy+log⁡yx=52x+y=12\begin{cases} \log_x y + \log_y x = \frac{5}{2} \\ x + y = 12 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Stabilim condițiile de existență: x>0x > 0, y>0y > 0, x≠1x \neq 1, y≠1y \neq 1.
22 puncte
Notăm t=log⁡xyt = \log_x y. Atunci log⁡yx=1t\log_y x = \frac{1}{t}. Prima ecuație devine: t+1t=52t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2}.
32 puncte
Rezolvăm ecuația: t+1t=52⇒2t2−5t+2=0⇒t=2t + \frac{1}{t} = \frac{5}{2} \Rightarrow 2t^2 - 5t + 2 = 0 \Rightarrow t = 2 sau t=12t = \frac{1}{2}.
42 puncte
Cazul 1: t=2t = 2, deci log⁡xy=2⇒y=x2\log_x y = 2 \Rightarrow y = x^2. Înlocuim în a doua ecuație: x+x2=12⇒x2+x−12=0⇒x=3x + x^2 = 12 \Rightarrow x^2 + x - 12 = 0 \Rightarrow x = 3 sau x=−4x = -4. Verificăm condițiile: x=3x=3, y=9y=9 este validă; x=−4x=-4 nu este valid.
52 puncte
Cazul 2: t=12t = \frac{1}{2}, deci log⁡xy=12⇒y=x1/2=x\log_x y = \frac{1}{2} \Rightarrow y = x^{1/2} = \sqrt{x}. Înlocuim în a doua ecuație: x+x=12x + \sqrt{x} = 12. Notăm u=x>0u = \sqrt{x} > 0, atunci u2+u−12=0⇒u=3u^2 + u - 12 = 0 \Rightarrow u = 3 sau u=−4u = -4 (invalid). Deci u=3⇒x=9u=3 \Rightarrow x=9, y=3y=3. Verificăm condițiile. Soluțiile sistemului sunt (3,9)(3,9) și (9,3)(9,3).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.