MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definite
Fie f:[0,4]→Rf: [0,4] \to \mathbb{R} o funcție continuă cu proprietatea că f(x)+f(4−x)=6f(x) + f(4-x) = 6 pentru orice x∈[0,4]x \in [0,4]. Să se calculeze ∫04f(x) dx\int_{0}^{4} f(x) \, dx.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm I=∫04f(x) dxI = \int_{0}^{4} f(x) \, dx.\n
24 puncte
Aplicăm schimbarea de variabilă t=4−xt = 4-x: I=∫40f(4−t) (−dt)=∫04f(4−t) dt=∫04f(4−x) dxI = \int_{4}^{0} f(4-t) \, (-dt) = \int_{0}^{4} f(4-t) \, dt = \int_{0}^{4} f(4-x) \, dx.\n
33 puncte
Adunăm cele două expresii pentru II: 2I=∫04[f(x)+f(4−x)] dx=∫046 dx=6⋅4=242I = \int_{0}^{4} [f(x) + f(4-x)] \, dx = \int_{0}^{4} 6 \, dx = 6 \cdot 4 = 24.\n
41 punct
Obținem I=12I = 12.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.