MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriPolinoame
Fie pp un număr prim. Se consideră inelul Zp[x]\mathbb{Z}_p[x] al polinoamelor cu coeficienți în corpul Zp\mathbb{Z}_p. a) Explicați de ce Zp[x]\mathbb{Z}_p[x] este un inel comutativ. b) Fie polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1. Pentru ce valori ale lui pp este f(x)f(x) reductibil peste Zp\mathbb{Z}_p? c) Pentru p=3p=3, arătați că inelul factor Z3[x]/(x2+1)\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1) este un corp.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Zp[x]\mathbb{Z}_p[x] este inel comutativ deoarece adunarea și înmulțirea polinoamelor sunt definite pe componente, iar Zp\mathbb{Z}_p este corp comutativ (întrucât pp este prim), deci inelul polinoamelor peste un corp comutativ moștenește comutativitatea.
23 puncte
Polinomul f(x)=x2+1f(x)=x^2+1 este reductibil peste Zp\mathbb{Z}_p dacă și numai dacă are rădăcini în Zp\mathbb{Z}_p, adică există a∈Zpa \in \mathbb{Z}_p astfel încât a2≡−1(modp)a^2 \equiv -1 \pmod{p}. Pentru p=2p=2, x2+1≡x2+1(mod2)x^2+1 \equiv x^2+1 \pmod{2} și 12+1=01^2+1=0 modulo 2, deci 11 este rădăcină și f(x)f(x) este reductibil. Pentru p>2p>2, condiția este ca −1-1 să fie rest pătratic modulo pp, ceea ce se întâmplă dacă și numai dacă p≡1(mod4)p \equiv 1 \pmod{4} (conform criteriului lui Euler). Deci f(x)f(x) este reductibil pentru p=2p=2 sau p≡1(mod4)p \equiv 1 \pmod{4}.
35 puncte
Pentru p=3p=3, Z3\mathbb{Z}_3 este corp. Polinomul f(x)=x2+1f(x)=x^2+1 este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 deoarece −1≡2(mod3)-1 \equiv 2 \pmod{3} nu este pătrat modulo 3 (verificând: 02=00^2=0, 12=11^2=1, 22=4≡1(mod3)2^2=4 \equiv 1 \pmod{3}). Într-un inel de polinoame peste un corp, idealul generat de un polinom ireductibil este maximal. Deci idealul (x2+1)(x^2+1) este maximal în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x], și prin urmare inelul factor Z3[x]/(x2+1)\mathbb{Z}_3[x]/(x^2+1) este un corp (deoarece inelul factor după un ideal maximal este corp).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.