MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră funcția f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, cu a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}, a≠0a \neq 0. Știind că rădăcinile ecuației f(x)=0f(x)=0 sunt numere reale, suma rădăcinilor este 4, produsul rădăcinilor este 3, și f(2)=−2f(2) = -2, determinați funcția ff. Apoi, rezolvați în R\mathbb{R} ecuația f(x2−3x)=0f(x^2 - 3x) = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Folosind relațiile lui Viète: suma rădăcinilor x1+x2=−ba=4x_1+x_2 = -\frac{b}{a} = 4, deci b=−4ab = -4a; produsul rădăcinilor x1⋅x2=ca=3x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = 3, deci c=3ac = 3a.
22 puncte
Se utilizează condiția f(2)=−2f(2) = -2: a⋅22+b⋅2+c=4a+2b+c=−2a \cdot 2^2 + b \cdot 2 + c = 4a + 2b + c = -2. Înlocuind bb și cc: 4a+2(−4a)+3a=−a=−24a + 2(-4a) + 3a = -a = -2, deci a=2a=2.
31 punct
Atunci b=−4⋅2=−8b = -4 \cdot 2 = -8 și c=3⋅2=6c = 3 \cdot 2 = 6. Funcția este f(x)=2x2−8x+6f(x) = 2x^2 - 8x + 6.
42 puncte
Ecuația f(x2−3x)=0f(x^2-3x)=0 se scrie 2(x2−3x)2−8(x2−3x)+6=02(x^2-3x)^2 - 8(x^2-3x) + 6 = 0. Din f(x)=0f(x)=0, rădăcinile sunt x1=1x_1=1 și x2=3x_2=3 (rezolvând 2x2−8x+6=02x^2-8x+6=0). Deci f(x2−3x)=0f(x^2-3x)=0 implică x2−3x=1x^2-3x=1 sau x2−3x=3x^2-3x=3.
52 puncte
Se rezolvă ecuațiile pătratice: x2−3x−1=0x^2-3x-1=0 dă x=3±132x = \frac{3 \pm \sqrt{13}}{2}; x2−3x−3=0x^2-3x-3=0 dă x=3±212x = \frac{3 \pm \sqrt{21}}{2}.
61 punct
Soluțiile în R\mathbb{R} sunt: x∈{3−132,3+132,3−212,3+212}x \in \left\{ \frac{3 - \sqrt{13}}{2}, \frac{3 + \sqrt{13}}{2}, \frac{3 - \sqrt{21}}{2}, \frac{3 + \sqrt{21}}{2} \right\}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.