MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Fie G={z∈C∣∣z∣=1}G = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} cu operația de înmulțire a numerelor complexe. Arătați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup. Pentru n∈N∗,n≥2n \in \mathbb{N}^*, n \geq 2, considerați Hn={z∈C∣zn=1}H_n = \{ z \in \mathbb{C} \mid z^n = 1 \}. Demonstrați că HnH_n este subgrup ciclic al lui GG și găsiți un generator.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se arată închiderea pentru GG: pentru z1,z2∈Gz_1, z_2 \in G, ∣z1∣=∣z2∣=1|z_1| = |z_2| = 1, atunci ∣z1⋅z2∣=∣z1∣⋅∣z2∣=1|z_1 \cdot z_2| = |z_1| \cdot |z_2| = 1, deci z1⋅z2∈Gz_1 \cdot z_2 \in G.
22 puncte
Se verifică asociativitatea: înmulțirea numerelor complexe este asociativă, deci pentru orice z1,z2,z3∈Gz_1, z_2, z_3 \in G, (z1⋅z2)⋅z3=z1⋅(z2⋅z3)(z_1 \cdot z_2) \cdot z_3 = z_1 \cdot (z_2 \cdot z_3).
32 puncte
Se identifică elementul neutru: 1=1+0i∈G1 = 1 + 0i \in G cu ∣1∣=1|1| = 1, și pentru orice z∈Gz \in G, z⋅1=zz \cdot 1 = z.
42 puncte
Se găsește inversul: pentru z=eiα∈Gz = e^{i\alpha} \in G, inversul este z−1=e−iαz^{-1} = e^{-i\alpha} cu ∣z−1∣=1|z^{-1}| = 1, și z⋅z−1=1z \cdot z^{-1} = 1.
52 puncte
Pentru HnH_n: se arată că este subgrup al lui GG (închidere, asociativitate, element neutru 1∈Hn1 \in H_n, și invers pentru fiecare element). HnH_n este ciclic cu generatorul ω=ei2πn\omega = e^{i\frac{2\pi}{n}}, deoarece ωn=1\omega^n = 1 și orice element al lui HnH_n este de forma ωk\omega^k pentru k=0,1,…,n−1k = 0, 1, \dots, n-1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.