MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriNumere Complexe
Demonstrați că mulțimea numerelor complexe C={a+bi∣a,b∈R}\mathbb{C} = \{ a+bi \mid a,b \in \mathbb{R} \} împreună cu adunarea și înmulțirea obișnuite formează un corp. Apoi, rezolvați ecuația (1+i)z+(2−3i)=5+4i(1+i)z + (2-3i) = 5+4i în C\mathbb{C}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Arătăm închiderea lui C\mathbb{C} față de adunare și înmulțire: pentru orice z1=a1+b1i,z2=a2+b2i∈Cz_1 = a_1+b_1 i, z_2 = a_2+b_2 i \in \mathbb{C}, suma z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)iz_1+z_2 = (a_1+a_2)+(b_1+b_2)i și produsul z1⋅z2=(a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)iz_1 \cdot z_2 = (a_1 a_2 - b_1 b_2) + (a_1 b_2 + a_2 b_1)i sunt numere complexe.
22 puncte
Verificăm proprietățile: adunarea și înmulțirea sunt asociative și comutative; de exemplu, z1+z2=z2+z1z_1+z_2 = z_2+z_1 și z1⋅z2=z2⋅z1z_1 \cdot z_2 = z_2 \cdot z_1.
32 puncte
Identificăm elementele neutre: 0=0+0i0 = 0+0i pentru adunare, cu inversul aditiv −a−bi-a-bi pentru z=a+biz=a+bi; 1=1+0i1 = 1+0i pentru înmulțire, iar pentru z=a+bi≠0z=a+bi \neq 0, inversul multiplicativ este z−1=a−bia2+b2z^{-1} = \frac{a-bi}{a^2+b^2}.
44 puncte
Rezolvăm ecuația: izolăm zz: (1+i)z=5+4i−(2−3i)=3+7i(1+i)z = 5+4i - (2-3i) = 3+7i. Apoi, z=3+7i1+iz = \frac{3+7i}{1+i}. Calculăm 3+7i1+i=(3+7i)(1−i)(1+i)(1−i)=3−3i+7i−7i21−i2=3+4i+72=10+4i2=5+2i\frac{3+7i}{1+i} = \frac{(3+7i)(1-i)}{(1+i)(1-i)} = \frac{3-3i+7i-7i^2}{1-i^2} = \frac{3+4i+7}{2} = \frac{10+4i}{2} = 5+2i. Verificăm: (1+i)(5+2i)+(2−3i)=(5+2i+5i+2i2)+(2−3i)=(5+7i−2)+(2−3i)=3+7i+2−3i=5+4i(1+i)(5+2i) + (2-3i) = (5+2i+5i+2i^2) + (2-3i) = (5+7i-2) + (2-3i) = 3+7i + 2-3i = 5+4i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.