MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorIntegrale definitePrimitive
Calculați integrala definită I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdxI = \int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx folosind proprietățile integralelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Aplicăm proprietatea ∫abf(x)dx=∫abf(a+b−x)dx\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx pentru a=0a=0, b=πb=\pi și f(x)=xsin⁡x1+cos⁡2xf(x)=\frac{x \sin x}{1+\cos^2 x}, obținând I=∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2xdxI = \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx.
23 puncte
Adunăm cele două expresii pentru I: I+I=∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx+∫0π(π−x)sin⁡x1+cos⁡2xdxI + I = \int_0^{\pi} \frac{x \sin x}{1+\cos^2 x} dx + \int_0^{\pi} \frac{(\pi - x) \sin x}{1+\cos^2 x} dx, deci 2I=∫0ππsin⁡x1+cos⁡2xdx=π∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdx2I = \int_0^{\pi} \frac{\pi \sin x}{1+\cos^2 x} dx = \pi \int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx.
32 puncte
Facem substituția u=cos⁡xu = \cos x, deci du=−sin⁡xdxdu = -\sin x dx. Când x=0x=0, u=1u=1; când x=πx=\pi, u=−1u=-1. Atunci ∫0πsin⁡x1+cos⁡2xdx=∫1−1−du1+u2=∫−11du1+u2\int_0^{\pi} \frac{\sin x}{1+\cos^2 x} dx = \int_{1}^{-1} \frac{-du}{1+u^2} = \int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2}.
42 puncte
Calculăm ∫−11du1+u2=[arctan⁡u]−11=arctan⁡(1)−arctan⁡(−1)=π4−(−π4)=π2\int_{-1}^{1} \frac{du}{1+u^2} = [\arctan u]_{-1}^{1} = \arctan(1) - \arctan(-1) = \frac{\pi}{4} - (-\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}. Atunci 2I=π⋅π2=π222I = \pi \cdot \frac{\pi}{2} = \frac{\pi^2}{2}, deci I=π24I = \frac{\pi^2}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.