MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Fie funcțiile f(x)=x2−4x+3f(x) = x^2 - 4x + 3 și g(x)=−x2+2x+3g(x) = -x^2 + 2x + 3. Determinați aria regiunii mărginite de graficele celor două funcții.

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Găsirea punctelor de intersecție ale graficelor prin rezolvarea ecuației f(x)=g(x)f(x) = g(x): x2−4x+3=−x2+2x+3⇒2x2−6x=0⇒2x(x−3)=0x^2 - 4x + 3 = -x^2 + 2x + 3 \Rightarrow 2x^2 - 6x = 0 \Rightarrow 2x(x-3)=0, deci x=0x=0 sau x=3x=3.
21 punct
Determinarea funcției mai mari pe intervalul [0,3][0,3]; de exemplu, pentru x=1.5x=1.5: f(1.5)=2.25−6+3=−0.75f(1.5)=2.25 - 6 + 3 = -0.75, g(1.5)=−2.25+3+3=3.75g(1.5)=-2.25 + 3 + 3 = 3.75, deci g(x)>f(x)g(x) > f(x) pe [0,3][0,3].
32 puncte
Exprimarea ariei ca integrală definită a diferenței funcțiilor, folosind proprietăți de liniaritate și aditivitate: A=∫03[g(x)−f(x)] dx=∫03[(−x2+2x+3)−(x2−4x+3)] dx=∫03(−2x2+6x) dxA = \int_{0}^{3} [g(x) - f(x)] \, dx = \int_{0}^{3} [(-x^2 + 2x + 3) - (x^2 - 4x + 3)] \, dx = \int_{0}^{3} (-2x^2 + 6x) \, dx.
42 puncte
Găsirea primitivei funcției de integrat: ∫(−2x2+6x) dx=−23x3+3x2+C\int (-2x^2 + 6x) \, dx = -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 + C.
52 puncte
Evaluarea integralei definite: [−23x3+3x2]03=(−23⋅27+3⋅9)−0=(−18+27)=9\left[ -\frac{2}{3}x^3 + 3x^2 \right]_{0}^{3} = \left( -\frac{2}{3} \cdot 27 + 3 \cdot 9 \right) - 0 = (-18 + 27) = 9.
61 punct
Concluzia: aria regiunii este 99 unități pătrate.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.