MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaGeometrie AnaliticăSisteme de Ecuații Neliniare
Se consideră parabola y=x2−4x+3y = x^2 - 4x + 3 și dreapta y=mx−1y = mx - 1, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Determinați mm astfel încât dreapta să fie tangentă la parabolă. Apoi, pentru mm găsit, calculați coordonatele punctului de tangență și aria triunghiului format de axele de coordonate și tangenta la parabolă în acel punct.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Intersecția dintre parabolă și dreaptă se obține rezolvând sistemul: x2−4x+3=mx−1x^2 - 4x + 3 = mx - 1. Echivalent, x2−(4+m)x+4=0x^2 - (4+m)x + 4 = 0. Condiția de tangență este Δ=0\Delta = 0: Δ=(4+m)2−16=m2+8m+16−16=m2+8m=m(m+8)=0⇒m=0\Delta = (4+m)^2 - 16 = m^2 + 8m + 16 - 16 = m^2 + 8m = m(m+8) = 0 \Rightarrow m = 0 sau m=−8m = -8.
23 puncte
Pentru m=0m=0, ecuația devine x2−4x+4=0⇒(x−2)2=0⇒x=2x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2=0 \Rightarrow x=2, iar y=0⋅2−1=−1y = 0 \cdot 2 - 1 = -1. Punctul de tangență este T(2,−1)T(2, -1). Pentru m=−8m=-8, ecuația devine x2+4x+4=0⇒(x+2)2=0⇒x=−2x^2 + 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x+2)^2=0 \Rightarrow x=-2, iar y=−8⋅(−2)−1=16−1=15y = -8 \cdot (-2) - 1 = 16 - 1 = 15. Punctul de tangență este T′(−2,15)T'(-2, 15).
32 puncte
Se consideră cazul m=0m=0 cu tangenta y=−1y = -1. Aceasta intersectează axa OxOx la y=0⇒0=−1y=0 \Rightarrow 0 = -1 (imposibil), deci este paralelă cu OxOx și nu formează triunghi cu axele. Pentru m=−8m=-8, tangenta este y=−8x−1y = -8x - 1. Intersecția cu axa OxOx: y=0⇒−8x−1=0⇒x=−18y=0 \Rightarrow -8x - 1 = 0 \Rightarrow x = -\frac{1}{8}, deci A(−18,0)A(-\frac{1}{8}, 0). Intersecția cu axa OyOy: x=0⇒y=−1x=0 \Rightarrow y = -1, deci B(0,−1)B(0, -1).
42 puncte
Triunghiul AOBAOB are vârfurile O(0,0)O(0,0), A(−18,0)A(-\frac{1}{8}, 0), B(0,−1)B(0, -1). Aceasta este un triunghi dreptunghic cu catetele OA=18OA = \frac{1}{8} și OB=1OB = 1. Aria este OA⋅OB2=18⋅12=116\frac{OA \cdot OB}{2} = \frac{\frac{1}{8} \cdot 1}{2} = \frac{1}{16}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.