MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie ∗* o lege de compoziție pe R\mathbb{R} definită prin x∗y=x+y−xyx * y = x + y - xy. Studiați dacă (R,∗)(\mathbb{R}, *) este un grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea: pentru orice x,y∈Rx, y \in \mathbb{R}, x∗y=x+y−xy∈Rx * y = x + y - xy \in \mathbb{R}, deci operația este bine definită pe R\mathbb{R}.
23 puncte
Verificăm asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Rx, y, z \in \mathbb{R}, calculăm (x∗y)∗z=(x+y−xy)+z−(x+y−xy)z=x+y+z−xy−xz−yz+xyz(x * y) * z = (x + y - xy) + z - (x + y - xy)z = x + y + z - xy - xz - yz + xyz și x∗(y∗z)=x+(y+z−yz)−x(y+z−yz)=x+y+z−yz−xy−xz+xyzx * (y * z) = x + (y + z - yz) - x(y + z - yz) = x + y + z - yz - xy - xz + xyz, de unde rezultă că (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z).
32 puncte
Căutăm elementul neutru ee. Din x∗e=xx * e = x pentru orice xx, avem x+e−xe=x⇒e(1−x)=0x + e - xe = x \Rightarrow e(1 - x) = 0, deci e=0e=0. Verificăm: x∗0=x+0−x⋅0=xx * 0 = x + 0 - x\cdot0 = x și 0∗x=0+x−0⋅x=x0 * x = 0 + x - 0\cdot x = x, așadar e=0e=0 este elementul neutru.
42 puncte
Pentru inversibilitate, pentru fiecare x∈Rx \in \mathbb{R}, căutăm x′x' astfel încât x∗x′=0x * x' = 0. Avem x+x′−xx′=0⇒x′(1−x)=−x⇒x′=−x1−xx + x' - xx' = 0 \Rightarrow x'(1 - x) = -x \Rightarrow x' = \frac{-x}{1-x} pentru x≠1x \neq 1. Pentru x=1x=1, ecuația devine 1∗x′=1+x′−1⋅x′=11 * x' = 1 + x' - 1\cdot x' = 1, care nu poate fi egală cu 00 pentru niciun x′x'.
51 punct
Deoarece elementul 11 nu are invers în R\mathbb{R} cu operația ∗*, structura (R,∗)(\mathbb{R}, *) nu este un grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.