MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere RealeGeometrie Analitică
Fie funcția de gradul al doilea f(x)=ax2+bx+cf(x) = ax^2 + bx + c, cu a≠0a \neq 0. Se știe că f(1)=2f(1)=2, f(−1)=4f(-1)=4 și că vârful parabolei este în punctul (2,−3)(2, -3). Determinați coeficienții a,b,ca, b, c și aflați valoarea minimă a funcției ff pe intervalul [0,4][0,4].

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Scriem condițiile bazate pe datele problemei: f(1)=2⇒a+b+c=2f(1)=2 \Rightarrow a+b+c=2, f(−1)=4⇒a−b+c=4f(-1)=4 \Rightarrow a-b+c=4, iar pentru vârf, xv=−b2a=2x_v = -\frac{b}{2a} = 2 și yv=f(2)=−3⇒4a+2b+c=−3y_v = f(2) = -3 \Rightarrow 4a+2b+c = -3.\n
23 puncte
Rezolvăm sistemul de ecuații: {a+b+c=2a−b+c=44a+2b+c=−3\begin{cases} a+b+c=2 \\ a-b+c=4 \\ 4a+2b+c=-3 \end{cases}. Scădem primele două ecuații pentru a obține 2b=−2⇒b=−12b = -2 \Rightarrow b=-1. Înlocuim b=−1b=-1 în prima ecuație: a−1+c=2⇒a+c=3a-1+c=2 \Rightarrow a+c=3. Din a treia ecuație: 4a+2(−1)+c=−3⇒4a−2+c=−3⇒4a+c=−14a+2(-1)+c=-3 \Rightarrow 4a-2+c=-3 \Rightarrow 4a+c=-1. Rezolvăm sistemul {a+c=34a+c=−1\begin{cases} a+c=3 \\ 4a+c=-1 \end{cases} scăzând: 3a=−4⇒a=−433a=-4 \Rightarrow a=-\frac{4}{3}, apoi c=3−a=3+43=133c=3-a=3+\frac{4}{3}=\frac{13}{3}.\n
32 puncte
Funcția este f(x)=−43x2−x+133f(x) = -\frac{4}{3}x^2 - x + \frac{13}{3}.\n
42 puncte
Vârful parabolei la x=2x=2 este în intervalul [0,4][0,4], deci valoarea minimă a funcției pe acest interval este f(2)=−3f(2) = -3. Verificăm capetele: f(0)=133f(0)=\frac{13}{3} și f(4)=−43⋅16−4+133=−643−4+133=−513−4=−17−4=−21f(4)= -\frac{4}{3}\cdot16 -4 + \frac{13}{3} = -\frac{64}{3} -4 + \frac{13}{3} = -\frac{51}{3} -4 = -17-4=-21, ambele mai mari decât −3-3. Astfel, valoarea minimă este −3-3.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.