MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriNumere Complexe
Fie mulțimea H={z∈C∣∣z∣=1}H = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| = 1 \} și operația de înmulțire a numerelor complexe. a) Demonstrați că (H,⋅)(H, \cdot) este un grup. b) Determinați ordinul elementului z=12+i32z = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2} în acest grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Se verifică închiderea: pentru orice z,w∈Hz,w \in H, avem ∣z∣=1|z|=1 și ∣w∣=1|w|=1, deci ∣z⋅w∣=∣z∣⋅∣w∣=1|z \cdot w| = |z| \cdot |w| = 1, așadar z⋅w∈Hz \cdot w \in H.
22 puncte
Asociativitatea este îndeplinită deoarece înmulțirea numerelor complexe este asociativă.
32 puncte
Elementul neutru este 11, deoarece ∣1∣=1|1|=1 și pentru orice z∈Hz \in H, 1⋅z=z⋅1=z1 \cdot z = z \cdot 1 = z.
42 puncte
Fiecare element are invers: pentru z∈Hz \in H, ∣z∣=1|z|=1, considerăm 1/z1/z. Avem ∣1/z∣=1/∣z∣=1|1/z| = 1/|z| = 1, deci 1/z∈H1/z \in H, și z⋅(1/z)=1z \cdot (1/z) = 1.
52 puncte
Se determină ordinul lui z=12+i32z = \frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}. Scriem z=cos⁡(π/3)+isin⁡(π/3)=eiπ/3z = \cos(\pi/3) + i \sin(\pi/3) = e^{i\pi/3}. Atunci zn=einπ/3z^n = e^{i n \pi/3}. Cea mai mică valoare pozitivă nn pentru care zn=1z^n = 1 este când nπ/3=2kπn\pi/3 = 2k\pi, deci pentru n=6n=6, avem z6=ei2π=1z^6 = e^{i2\pi} = 1. Astfel, ordinul lui zz este 6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.