MediuInele și corpuriClasa 12

Problemă rezolvată de Inele și corpuri

MediuInele și corpuriMatriciSisteme de Ecuații Liniare
Fie mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(abcd)}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \}. Arătați că (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Este acest inel un corp? Justificați răspunsul. Apoi, pentru matricea B=(1234)B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}, determinați dacă există o matrice X∈MX \in M astfel încât B⋅X=(5678)B \cdot X = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea mulțimii MM față de adunare și înmulțire. Pentru orice A1,A2∈MA_1, A_2 \in M, suma A1+A2A_1+A_2 și produsul A1⋅A2A_1 \cdot A_2 sunt matrice din MM, deoarece componentele sunt numere reale.
23 puncte
Verificăm proprietățile: asociativitatea adunării (A1+A2)+A3=A1+(A2+A3)(A_1+A_2)+A_3 = A_1+(A_2+A_3), asociativitatea înmulțirii (A1⋅A2)⋅A3=A1⋅(A2⋅A3)(A_1 \cdot A_2) \cdot A_3 = A_1 \cdot (A_2 \cdot A_3), și distributivitatea A1⋅(A2+A3)=A1⋅A2+A1⋅A3A_1 \cdot (A_2+A_3) = A_1 \cdot A_2 + A_1 \cdot A_3 și (A1+A2)⋅A3=A1⋅A3+A2⋅A3(A_1+A_2) \cdot A_3 = A_1 \cdot A_3 + A_2 \cdot A_3.
31 punct
Elementul neutru la adunare este matricea nulă (0000)\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, iar inversul aditiv pentru A=(abcd)A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} este (−a−b−c−d)\begin{pmatrix} -a & -b \\ -c & -d \end{pmatrix}.
42 puncte
Inelul nu este corp deoarece există matrice nenule care nu au invers multiplicativ; de exemplu, matricea (1000)\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} este nenulă dar determinantul ei este 00, deci nu este inversabilă.
52 puncte
Pentru ecuația B⋅X=CB \cdot X = C cu C=(5678)C = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}, observăm că det⁡(B)=1⋅4−2⋅3=−2≠0\det(B) = 1\cdot4 - 2\cdot3 = -2 \neq 0, deci BB este inversabilă și există o soluție unică X=B−1CX = B^{-1} C. Calculăm B−1=1−2(4−2−31)=(−211.5−0.5)B^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}, apoi X=(−211.5−0.5)(5678)=(−10+7−12+87.5−3.59−4)=(−3−445)X = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -10+7 & -12+8 \\ 7.5-3.5 & 9-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 & -4 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inele și corpuri

Mediu#1Inele și corpuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea A={a+b2∣a,b∈Z}A = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \} cu adunarea și înmulțirea obișnuite. Arătați că (A,+,⋅)(A, +, \cdot) este un inel comutativ. Determinați dacă AA este corp și justificați răspunsul.
Mediu#2Inele și corpuriLegi de compozițieNumere Complexe
Pe mulțimea Z×Z\mathbb{Z} \times \mathbb{Z} se definesc operațiile (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)(a,b) + (c,d) = (a+c, b+d) și (a,b)⋅(c,d)=(ac−bd,ad+bc)(a,b) \cdot (c,d) = (ac - bd, ad + bc). Demonstrați că (Z×Z,+,⋅)(\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}, +, \cdot) este un inel. Este acesta un corp? Dacă da, determinați inversul unui element nenul; dacă nu, justificați.
Mediu#3Inele și corpuriMatrici
Se consideră mulțimea M={A∈M2(R)∣A=(ab0a),a,b∈R}M = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & a \end{pmatrix}, a, b \in \mathbb{R} \}. Verificați dacă (M,+,⋅)(M, +, \cdot) este un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea obișnuite a matricelor. Dacă este inel, determinați dacă este corp.
Mediu#4Inele și corpuriPolinoame
Fie inelul (Z3,+,⋅)(\mathbb{Z}_3, +, \cdot) al claselor de resturi modulo 3. Se consideră polinomul f(x)=x2+1f(x) = x^2 + 1 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Arătați că f(x)f(x) este ireductibil peste Z3\mathbb{Z}_3 și construiți corpul de extindere Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)). Determinați ordinea acestui corp și enumerați elementele sale.
Vezi toate problemele de Inele și corpuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inele și corpuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.