MediuProprietăți ale integralelorClasa 12

Problemă rezolvată de Proprietăți ale integralelor

MediuProprietăți ale integralelorAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Liniare
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x3+ax2+bx+cf(x) = x^3 + ax^2 + bx + c, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Știind că ∫−11f(x)dx=4\int_{-1}^{1} f(x) dx = 4, ∫02f(x)dx=10\int_{0}^{2} f(x) dx = 10 și ∫−10f(x)dx=1\int_{-1}^{0} f(x) dx = 1, să se determine constantele a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculăm ∫−11f(x)dx\int_{-1}^{1} f(x) dx folosind liniaritatea integralelor și proprietățile funcțiilor pare/impare. Avem ∫−11f(x)dx=∫−11(x3+ax2+bx+c)dx=∫−11x3dx+a∫−11x2dx+b∫−11xdx+c∫−11dx\int_{-1}^{1} f(x) dx = \int_{-1}^{1} (x^3 + ax^2 + bx + c) dx = \int_{-1}^{1} x^3 dx + a \int_{-1}^{1} x^2 dx + b \int_{-1}^{1} x dx + c \int_{-1}^{1} dx. Cum x3x^3 și xx sunt funcții impare, integralele lor pe [−1,1][-1,1] sunt 0. ∫−11x2dx=2∫01x2dx=2⋅[x33]01=23\int_{-1}^{1} x^2 dx = 2 \int_{0}^{1} x^2 dx = 2 \cdot \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{2}{3}, iar ∫−11dx=2\int_{-1}^{1} dx = 2. Deci ∫−11f(x)dx=a⋅23+c⋅2=2a3+2c\int_{-1}^{1} f(x) dx = a \cdot \frac{2}{3} + c \cdot 2 = \frac{2a}{3} + 2c. Din ipoteză, 2a3+2c=4\frac{2a}{3} + 2c = 4. Simplificând cu 2: a3+c=2\frac{a}{3} + c = 2 → ecuația (1).
23 puncte
Calculăm ∫02f(x)dx\int_{0}^{2} f(x) dx. ∫02f(x)dx=∫02(x3+ax2+bx+c)dx=[x44+ax33+bx22+cx]02=164+a⋅83+b⋅42+c⋅2=4+8a3+2b+2c\int_{0}^{2} f(x) dx = \int_{0}^{2} (x^3 + ax^2 + bx + c) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{a x^3}{3} + \frac{b x^2}{2} + c x \right]_0^2 = \frac{16}{4} + \frac{a \cdot 8}{3} + \frac{b \cdot 4}{2} + c \cdot 2 = 4 + \frac{8a}{3} + 2b + 2c. Din ipoteză, 4+8a3+2b+2c=104 + \frac{8a}{3} + 2b + 2c = 10, deci 8a3+2b+2c=6\frac{8a}{3} + 2b + 2c = 6. Împărțind cu 2: 4a3+b+c=3\frac{4a}{3} + b + c = 3 → ecuația (2).
33 puncte
Calculăm ∫−10f(x)dx\int_{-1}^{0} f(x) dx. ∫−10f(x)dx=∫−10(x3+ax2+bx+c)dx=[x44+ax33+bx22+cx]−10=0−(14+a(−1)33+b(1)2+c(−1))=−(14−a3+b2−c)=−14+a3−b2+c\int_{-1}^{0} f(x) dx = \int_{-1}^{0} (x^3 + ax^2 + bx + c) dx = \left[ \frac{x^4}{4} + \frac{a x^3}{3} + \frac{b x^2}{2} + c x \right]_{-1}^{0} = 0 - \left( \frac{1}{4} + \frac{a (-1)^3}{3} + \frac{b (1)}{2} + c (-1) \right) = - \left( \frac{1}{4} - \frac{a}{3} + \frac{b}{2} - c \right) = -\frac{1}{4} + \frac{a}{3} - \frac{b}{2} + c. Din ipoteză, −14+a3−b2+c=1-\frac{1}{4} + \frac{a}{3} - \frac{b}{2} + c = 1. Așadar, a3−b2+c=1+14=54\frac{a}{3} - \frac{b}{2} + c = 1 + \frac{1}{4} = \frac{5}{4} → ecuația (3).
41 punct
Rezolvăm sistemul format din ecuațiile (1), (2), (3). Din (1): c=2−a3c = 2 - \frac{a}{3}. Înlocuim în (2): 4a3+b+2−a3=3\frac{4a}{3} + b + 2 - \frac{a}{3} = 3 → 3a3+b+2=3\frac{3a}{3} + b + 2 = 3 → a+b+2=3a + b + 2 = 3 → a+b=1a + b = 1 → b=1−ab = 1 - a. Înlocuim în (3): a3−12(1−a)+2−a3=54\frac{a}{3} - \frac{1}{2}(1 - a) + 2 - \frac{a}{3} = \frac{5}{4}. Observăm că a3−a3=0\frac{a}{3} - \frac{a}{3} = 0, deci rămâne: −12+a2+2=54-\frac{1}{2} + \frac{a}{2} + 2 = \frac{5}{4}. Calculăm: −12+2=32=64-\frac{1}{2} + 2 = \frac{3}{2} = \frac{6}{4}, deci a2+64=54\frac{a}{2} + \frac{6}{4} = \frac{5}{4} → a2=54−64=−14\frac{a}{2} = \frac{5}{4} - \frac{6}{4} = -\frac{1}{4} → a=−12a = -\frac{1}{2}. Atunci b=1−a=1−(−12)=32b = 1 - a = 1 - (-\frac{1}{2}) = \frac{3}{2}. Și c=2−a3=2−−123=2+16=126+16=136c = 2 - \frac{a}{3} = 2 - \frac{-\frac{1}{2}}{3} = 2 + \frac{1}{6} = \frac{12}{6} + \frac{1}{6} = \frac{13}{6}. Deci a=−12a = -\frac{1}{2}, b=32b = \frac{3}{2}, c=136c = \frac{13}{6}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Proprietăți ale integralelor

Ușor#1Proprietăți ale integralelorTrigonometrieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Arătați că pentru orice a>0a > 0, avem ∫−aa(x3cos⁡x+xsin⁡x) dx=0\int_{-a}^{a} (x^3 \cos x + x \sin x) \, dx = 0, utilizând proprietățile integralelor definite.
Mediu#2Proprietăți ale integralelorArii și volumeFuncția de gradul al II-lea
Determinați aria suprafeței mărginite de graficul funcției f(x)=x2−5x+6f(x) = x^2 - 5x + 6 și axa Ox pe intervalul [2,4][2,4], folosind proprietățile integralelor definite.
Ușor#3Proprietăți ale integralelorPrimitiveAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Dacă ∫01f(x)dx=3\int_{0}^{1} f(x) dx = 3 și ∫12f(x)dx=5\int_{1}^{2} f(x) dx = 5, calculați ∫02[2f(x)+1]dx\int_{0}^{2} [2f(x) + 1] dx folosind proprietățile integralelor.
Mediu#4Proprietăți ale integralelorPrimitive
Arătați că ∫0πxsin⁡x1+cos⁡2xdx=π24\int_{0}^{\pi} \frac{x \sin x}{1 + \cos^2 x} dx = \frac{\pi^2}{4} folosind proprietăți ale integralelor.
Vezi toate problemele de Proprietăți ale integralelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Proprietăți ale integralelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.