MediuPolinoameClasa 12

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameInele și corpuri
Fie P={aX2+bX+c∣a,b,c∈Z}P = \{ aX^2 + bX + c \mid a, b, c \in \mathbb{Z} \} mulțimea polinoamelor de grad cel mult 2 cu coeficienți întregi. Verificați dacă (P,+,⋅)(P, +, \cdot) formează un inel, unde ++ și ⋅\cdot sunt adunarea și înmulțirea uzuală a polinoamelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificăm închiderea față de adunare. Pentru orice două polinoame din PP, suma are coeficienți în Z\mathbb{Z}, deci este în PP. \n
23 puncte
Verificăm asociativitatea și comutativitatea adunării și înmulțirii, care se transmit de la Z\mathbb{Z} datorită proprietăților operațiilor pe numere întregi. \n
32 puncte
Elementul neutru la adunare este polinomul 00 (toți coeficienții zero), iar la înmulțire este polinomul 11 (coeficienții a=1,b=0,c=0a=1, b=0, c=0), ambele în PP. \n
42 puncte
Pentru fiecare polinom p∈Pp \in P, există opusul −p-p în PP (coeficienții se iau cu semn schimbat, rămânând în Z\mathbb{Z}), deci invers față de adunare. \n
51 punct
Distributivitatea înmulțirii față de adunare este satisfăcută din proprietățile algebrice ale polinoamelor, deoarece operațiile sunt definite standard. Total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.