MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={a+b2∣a,b∈Z}M = \{ a + b\sqrt{2} \mid a, b \in \mathbb{Z} \}. a) Arătați că (M,+)(M, +) este un grup abelian. b) Definiți operația ∗\ast pe MM prin x∗y=x+y−xyx \ast y = x + y - xy. Verificați dacă (M,∗)(M, \ast) este grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 7 pași
13 puncte
Pentru (a), se verifică închiderea: pentru orice x,y∈Mx,y \in M, x+y∈Mx+y \in M deoarece suma a două numere de forma a+b2a+b\sqrt{2} cu coeficienți întregi are coeficienți întregi. Asociativitatea adunării este ereditară de la adunarea numerelor reale.
22 puncte
Elementul neutru pentru adunare este 0=0+02∈M0 = 0 + 0\sqrt{2} \in M, cu x+0=xx+0=x pentru orice x∈Mx \in M. Elementul simetric al lui x=a+b2x=a+b\sqrt{2} este −a−b2∈M-a - b\sqrt{2} \in M.
31 punct
Comutativitatea: x+y=y+xx+y=y+x, deci (M,+)(M,+) este grup abelian.
41 punct
Pentru (b), închiderea pentru ∗\ast: pentru x=a+b2x=a+b\sqrt{2}, y=c+d2y=c+d\sqrt{2}, x∗y=(a+c−ac−2bd)+(b+d−ad−bc)2x \ast y = (a+c - ac - 2bd) + (b+d - ad - bc)\sqrt{2}, cu coeficienți întregi, deci în MM.
51 punct
Asociativitatea pentru ∗\ast: se verifică prin calcul că (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x \ast y) \ast z = x \ast (y \ast z) pentru orice x,y,z∈Mx,y,z \in M.
61 punct
Elementul neutru pentru ∗\ast: din x∗e=xx \ast e = x, rezultă e=0e=0, deoarece x∗0=x+0−x⋅0=xx \ast 0 = x + 0 - x\cdot0 = x.
71 punct
Elementele simetrice: pentru x∈Mx \in M, simetricul x′x' trebuie să satisfacă x∗x′=0x \ast x' = 0. Din x+x′−xx′=0x + x' - xx' = 0, obținem x′=xx−1x' = \frac{x}{x-1} pentru x≠1x \neq 1. Dar xx−1\frac{x}{x-1} nu este neapărat în MM (de exemplu, pentru x=2x=2, x′=2x'=2, dar pentru x=1+2x=1+\sqrt{2}, x′x' nu are coeficienți întregi), deci nu toate elementele au simetric în MM, așadar (M,∗)(M, \ast) nu este grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.