MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere RealeGeometrie Analitică
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+(m−2)x+mf(x) = x^2 + (m-2)x + m, unde m∈Rm \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui mm pentru care vârful parabolei asociate funcției se află pe prima bisectoare. Pentru fiecare valoare găsită, calculați distanța de la vârf la originea sistemului de coordonate.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Coordonatele vârfului sunt xV=−m−22x_V = -\frac{m-2}{2} și yV=−Δ4a=−m2−8m+44y_V = -\frac{\Delta}{4a} = -\frac{m^2-8m+4}{4}, unde Δ=(m−2)2−4m=m2−8m+4\Delta = (m-2)^2 - 4m = m^2-8m+4.
22 puncte
Condiția ca vârful să fie pe prima bisectoare este yV=xVy_V = x_V, adică −m2−8m+44=−m−22-\frac{m^2-8m+4}{4} = -\frac{m-2}{2}.
33 puncte
Rezolvarea ecuației: înmulțind cu 4, se obține −(m2−8m+4)=−2(m−2)⇒−m2+8m−4=−2m+4⇒−m2+10m−8=0⇒m2−10m+8=0-(m^2-8m+4) = -2(m-2) \Rightarrow -m^2+8m-4 = -2m+4 \Rightarrow -m^2+10m-8=0 \Rightarrow m^2-10m+8=0, cu soluțiile m=5±17m=5 \pm \sqrt{17}.
43 puncte
Pentru m=5+17m=5+\sqrt{17}, xV=−5+17−22=−3+172x_V = -\frac{5+\sqrt{17}-2}{2} = -\frac{3+\sqrt{17}}{2}, yV=xV=−3+172y_V = x_V = -\frac{3+\sqrt{17}}{2}, deci distanța d=2(3+172)2=3+172=2(3+17)2d = \sqrt{2 \left( \frac{3+\sqrt{17}}{2} \right)^2} = \frac{3+\sqrt{17}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(3+\sqrt{17})}{2}. Similar pentru m=5−17m=5-\sqrt{17}, xV=−5−17−22=−3−172x_V = -\frac{5-\sqrt{17}-2}{2} = -\frac{3-\sqrt{17}}{2}, yV=−3−172y_V = -\frac{3-\sqrt{17}}{2}, d=2(3−17)2d = \frac{\sqrt{2}(3-\sqrt{17})}{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.