MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere ComplexeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie polinomul P(X)=X3−3X2+aX−1P(X) = X^3 - 3X^2 + aX - 1, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determinați aa astfel încât polinomul să aibă o rădăcină complexă de modul 1. Apoi, aflați toate rădăcinile polinomului.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Notăm rădăcina complexă de modul 1 cu z=eiθz = e^{i\theta}. Deoarece coeficienții sunt reali, conjugata zˉ\bar{z} este și ea rădăcină.
23 puncte
Folosind relațiile lui Viète, suma rădăcinilor este 3, iar produsul este 1. Fie zz și zˉ\bar{z} două rădăcini, și a treia rădăcină reală rr. Atunci z+zˉ+r=3z + \bar{z} + r = 3 și ∣z∣2⋅r=1|z|^2 \cdot r = 1.
32 puncte
Deoarece ∣z∣=1|z| = 1, avem ∣z∣2=1|z|^2 = 1, deci r=1r = 1. Din z+zˉ+1=3z + \bar{z} + 1 = 3, obținem z+zˉ=2z + \bar{z} = 2, ceea ce implică zz este real sau z=1z = 1. Dar zz este complex cu modul 1, deci z=1z = 1 sau z=−1z = -1. Verificăm: dacă z=1z=1, atunci este rădăcină, deci P(1)=0⇒1−3+a−1=0⇒a=3P(1)=0 \Rightarrow 1-3+a-1=0 \Rightarrow a=3.
43 puncte
Pentru a=3a=3, polinomul devine P(X)=X3−3X2+3X−1=(X−1)3P(X)=X^3-3X^2+3X-1 = (X-1)^3. Deci toate rădăcinile sunt 1 (triplă). Verificăm dacă z=−1z=-1 ar putea fi: dacă z=−1z=-1, atunci P(−1)=−1−3−a−1=−5−a=0⇒a=−5P(-1)=-1-3-a-1=-5-a=0 \Rightarrow a=-5, dar atunci r=1r=1 din produs, și z+zˉ=−2z+\bar{z}=-2, deci r=5r=5, contradicție. Deci singura soluție este a=3a=3 cu rădăcini toate 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.