MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați în mulțimea numerelor reale ecuația log⁡12(x2−6x+8)=log⁡12(x−2)+1\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 6x + 8) = \log_{\frac{1}{2}}(x-2) + 1.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea condițiilor de existență: x2−6x+8>0x^2 - 6x + 8 > 0 și x−2>0x-2 > 0. Se obține x∈(2,4)∪(4,∞)x \in (2, 4) \cup (4, \infty), excluzând x=4x=4 unde x2−6x+8=0x^2 - 6x + 8=0.\n
23 puncte
Transformarea ecuației: log⁡12(x2−6x+8)=log⁡12(x−2)+log⁡12(12)−1=log⁡12(2(x−2))\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 6x + 8) = \log_{\frac{1}{2}}(x-2) + \log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{1}{2}\right)^{-1} = \log_{\frac{1}{2}}(2(x-2)).\n
33 puncte
Deoarece funcția log⁡12\log_{\frac{1}{2}} este injectivă, ecuația devine x2−6x+8=2(x−2)x^2 - 6x + 8 = 2(x-2), adică x2−8x+12=0x^2 - 8x + 12 = 0. Soluțiile sunt x=2x=2 și x=6x=6.\n
42 puncte
Verificarea în condițiile de existență: x=2x=2 nu satisface x−2>0x-2>0, deci se exclude; x=6x=6 satisface ambele condiții, deci este soluție unică.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.