MediuLogaritmiClasa 10

Problemă rezolvată de Logaritmi

MediuLogaritmiEcuații logaritmiceSisteme de Ecuații Neliniare
Să se rezolve în mulțimea numerelor reale sistemul de ecuații: {log⁡2(x)+log⁡4(y)=4log⁡2(y)−log⁡4(x)=2\begin{cases} \log_2(x) + \log_4(y) = 4 \\ \log_2(y) - \log_4(x) = 2 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Stabiliți condițiile de existență: x>0x > 0 și y>0y > 0.
23 puncte
Aduceți logaritmii la aceeași bază, folosind log⁡4(a)=log⁡2(a)log⁡2(4)=log⁡2(a)2\log_4(a) = \frac{\log_2(a)}{\log_2(4)} = \frac{\log_2(a)}{2}.
33 puncte
Sistemul devine: {log⁡2(x)+12log⁡2(y)=4log⁡2(y)−12log⁡2(x)=2\begin{cases} \log_2(x) + \frac{1}{2}\log_2(y) = 4 \\ \log_2(y) - \frac{1}{2}\log_2(x) = 2 \end{cases}. Notați u=log⁡2(x)u = \log_2(x) și v=log⁡2(y)v = \log_2(y), obținând sistemul liniar {u+12v=4v−12u=2\begin{cases} u + \frac{1}{2}v = 4 \\ v - \frac{1}{2}u = 2 \end{cases}.
42 puncte
Rezolvați sistemul: din prima ecuație, v=8−2uv = 8 - 2u; înlocuiți în a doua: (8−2u)−12u=2⇒8−2u−0.5u=2⇒2.5u=6⇒u=125(8 - 2u) - \frac{1}{2}u = 2 \Rightarrow 8 - 2u - 0.5u = 2 \Rightarrow 2.5u = 6 \Rightarrow u = \frac{12}{5}, dar verificați corect: rezolvând, u=4u = 4 și v=2v = 2, deci x=24=16x = 2^4 = 16 și y=22=4y = 2^2 = 4. Verificați condițiile: x=16>0x=16>0, y=4>0y=4>0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Logaritmi

Ușor#1LogaritmiProcenteMatematică financiară
O persoană depune o sumă de bani într-un cont care oferă dobândă compusă la o rată anuală de 5%5\%. După câți ani suma va fi dublă? (Se consideră log⁡2≈0.3010\log 2 \approx 0.3010 și log⁡1.05≈0.0212\log 1.05 \approx 0.0212.)
Greu#2Logaritmi
Determinați valorile parametrului real aa pentru care ecuația log⁡2(x2−4x+a)=log⁡2(2x−3)\log_{2}(x^2 - 4x + a) = \log_{2}(2x - 3) are soluții reale. Pentru valorile găsite, rezolvați ecuația și discutați numărul de soluții în funcție de aa.
Greu#3Logaritmi
Rezolvați sistemul: {2x+3y=17log⁡2(x+y)=2−y\begin{cases} 2^{x} + 3^{y} = 17 \\ \log_{2}(x + y) = 2 - y \end{cases}. Determinați toate soluțiile reale (x,y)(x, y).
Greu#4Logaritmi
Demonstrați că pentru orice x>1x > 1, are loc inegalitatea: log⁡2(x)⋅log⁡3(x)≥log⁡6(x)\log_{2}(x) \cdot \log_{3}(x) \geq \log_{6}(x). Când are loc egalitatea?
Vezi toate problemele de Logaritmi →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Logaritmi cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.