MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie legea de compoziție ∗* pe mulțimea M=R∖{1}M = \mathbb{R} \setminus \{1\} definită prin x∗y=xy−x−y+2x * y = xy - x - y + 2, pentru orice x,y∈Mx, y \in M. Studiați dacă (M,∗)(M, *) este grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Verificăm asociativitatea. Calculăm (x∗y)∗z=(xy−x−y+2)∗z=(xy−x−y+2)z−(xy−x−y+2)−z+2=xyz−xz−yz+2z−xy+x+y−2−z+2=xyz−xz−yz+z−xy+x+y(x * y) * z = (xy - x - y + 2) * z = (xy - x - y + 2)z - (xy - x - y + 2) - z + 2 = xyz - xz - yz + 2z - xy + x + y - 2 - z + 2 = xyz - xz - yz + z - xy + x + y. Similar, x∗(y∗z)=x∗(yz−y−z+2)=x(yz−y−z+2)−x−(yz−y−z+2)+2=xyz−xy−xz+2x−x−yz+y+z−2+2=xyz−xy−xz+x−yz+y+zx * (y * z) = x * (yz - y - z + 2) = x(yz - y - z + 2) - x - (yz - y - z + 2) + 2 = xyz - xy - xz + 2x - x - yz + y + z - 2 + 2 = xyz - xy - xz + x - yz + y + z. Cele două expresii sunt egale, deci legea este asociativă.
23 puncte
Căutăm elementul neutru ee. Din x∗e=xx * e = x, avem xe−x−e+2=x  ⟹  xe−e=2x−2  ⟹  e(x−1)=2(x−1)xe - x - e + 2 = x \implies xe - e = 2x - 2 \implies e(x-1) = 2(x-1). Deoarece x≠1x \neq 1, simplificăm cu x−1x-1 și obținem e=2e=2. Verificăm: x∗2=2x−x−2+2=xx * 2 = 2x - x - 2 + 2 = x, și 2∗x=2x−2−x+2=x2 * x = 2x - 2 - x + 2 = x. Deci e=2e=2 este element neutru.
33 puncte
Pentru un element x∈Mx \in M, căutăm x′x' astfel încât x∗x′=2x * x' = 2. Avem xx′−x−x′+2=2  ⟹  xx′−x−x′=0  ⟹  x′(x−1)=x  ⟹  x′=xx−1x x' - x - x' + 2 = 2 \implies x x' - x - x' = 0 \implies x'(x-1) = x \implies x' = \frac{x}{x-1}. Deoarece x≠1x \neq 1, x′x' este bine definit și x′∈R∖{1}x' \in \mathbb{R} \setminus \{1\} (dacă x′=1x' = 1, atunci xx−1=1  ⟹  x=x−1  ⟹  0=−1\frac{x}{x-1} = 1 \implies x = x-1 \implies 0=-1, fals). Deci x′∈Mx' \in M și este simetricul lui xx.
41 punct
Toate axiomele sunt verificate, deci (M,∗)(M, *) este grup.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.