MediuMatematică aplicatăClasa 10

Problemă rezolvată de Matematică aplicată

MediuMatematică aplicatăMatematică financiarăLogaritmi
O sumă de bani este depusă într-un cont bancar cu dobândă compusă anuală la o rată necunoscută rr (sub formă zecimală). După 5 ani, suma se dublează. a) Determinați rata anuală rr. b) Dacă după încă 5 ani (adică la 10 ani de la depunere) se retrag 10000 lei, iar restul este lăsat să crească la aceeași rată, iar după 15 ani de la depunerea inițială suma totală este 50000 lei, aflați suma inițială depusă. c) Explicați cum s-ar modifica calculele dacă dobânda ar fi compusă trimestrial, cu aceeași rată anuală nominală.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți formula dobânzii compuse: A=P(1+r)tA = P(1 + r)^t, unde PP este suma inițială, rr rata anuală, tt timpul în ani. Pentru dublare în 5 ani: 2P=P(1+r)52P = P(1 + r)^5, deci (1+r)5=2(1 + r)^5 = 2.
23 puncte
Aplicați logaritmi: 5ln⁡(1+r)=ln⁡25 \ln(1 + r) = \ln 2, deci ln⁡(1+r)=ln⁡25\ln(1 + r) = \frac{\ln 2}{5}, și 1+r=eln⁡25=21/51 + r = e^{\frac{\ln 2}{5}} = 2^{1/5}. Calculați r=21/5−1≈0.1487r = 2^{1/5} - 1 \approx 0.1487, adică 14.87%14.87\%.
34 puncte
Pentru partea b, notați suma inițială cu PP. După 5 ani: A5=P(1+r)5=2PA_5 = P(1 + r)^5 = 2P. După 10 ani: A10=2P(1+r)5−10000=2P⋅2−10000=4P−10000A_{10} = 2P(1 + r)^5 - 10000 = 2P \cdot 2 - 10000 = 4P - 10000. Apoi, acest rest crește încă 5 ani: A15=(4P−10000)(1+r)5=(4P−10000)⋅2=8P−20000A_{15} = (4P - 10000)(1 + r)^5 = (4P - 10000) \cdot 2 = 8P - 20000. Setați A15=50000A_{15} = 50000: 8P−20000=500008P - 20000 = 50000, rezolvând P=8750P = 8750 lei. Pentru partea c, dacă dobânda este compusă trimestrial, rata periodică este r/4r/4, și numărul de perioade este 4t4t, deci formula devine A=P(1+r/4)4tA = P(1 + r/4)^{4t}; calculele pentru rr și PP s-ar ajusta în mod similar folosind această formulă.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Matematică aplicată

Mediu#1Matematică aplicatăAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție C(x)C(x) (în mii de lei) pentru xx unități este dat de funcția C(x)=0.1x3−2x2+15x+10C(x) = 0.1x^3 - 2x^2 + 15x + 10, unde x≥0x \geq 0. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x (în mii de lei). Determinați numărul de unități xx care maximizează profitul companiei și calculați profitul maxim.
Mediu#2Matematică aplicatăProbabilitățiCombinatorică
Într-un centru comercial, se estimează că probabilitatea ca un client să cumpere un produs este 0.30.3. Într-o oră, trec 20 de clienți. Care este probabilitatea ca exact 8 clienți să cumpere produsul? Utilizați distribuția binomială. Apoi, calculați probabilitatea ca cel puțin 5 clienți să cumpere produsul.
Ușor#3Matematică aplicatăProgresii Geometrice
O populație de bacterii crește exponențial conform legii P(t)=P0⋅ektP(t) = P_0 \cdot e^{kt}, unde P0P_0 este populația inițială. Dacă la momentul t=0t=0 sunt 1000 de bacterii, iar după 2 ore sunt 4000 de bacterii, să se determine timpul necesar pentru ca populația să atingă 16000 de bacterii.
Ușor#4Matematică aplicatăLogaritmiMatematică financiară
O persoană depune 5000 de lei într-un cont bancar care oferă dobândă compusă anuală cu rata de 5%. După câți ani suma va fi dublată? (Se utilizează aproximările ln⁡2≈0.6931\ln 2 \approx 0.6931 și ln⁡1.05≈0.04879\ln 1.05 \approx 0.04879)
Vezi toate problemele de Matematică aplicată →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Matematică aplicată cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.