MediuFuncția de gradul al II-leaClasa 10

Problemă rezolvată de Funcția de gradul al II-lea

MediuFuncția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=(m−1)x2−2(m+1)x+m−2f(x) = (m-1)x^2 - 2(m+1)x + m-2, cu m∈Rm \in \mathbb{R}. Determinați valorile lui mm pentru care funcția are două rădăcini reale distincte, iar suma pătratelor acestora este egală cu 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Condiția pentru rădăcini reale distincte este Δ>0\Delta > 0. Calculează Δ=[−2(m+1)]2−4(m−1)(m−2)=4(m+1)2−4(m−1)(m−2)\Delta = [-2(m+1)]^2 - 4(m-1)(m-2) = 4(m+1)^2 - 4(m-1)(m-2). Simplifică și obține Δ=12m+12>0\Delta = 12m + 12 > 0, deci m>−1m > -1.
24 puncte
Folosește relațiile lui Viete: suma rădăcinilor S=2(m+1)m−1S = \frac{2(m+1)}{m-1} și produsul P=m−2m−1P = \frac{m-2}{m-1}. Suma pătratelor este x12+x22=S2−2P=(2(m+1)m−1)2−2⋅m−2m−1x_1^2 + x_2^2 = S^2 - 2P = \left(\frac{2(m+1)}{m-1}\right)^2 - 2\cdot\frac{m-2}{m-1}. Egalează cu 4: 4(m+1)2(m−1)2−2(m−2)m−1=4\frac{4(m+1)^2}{(m-1)^2} - \frac{2(m-2)}{m-1} = 4.
33 puncte
Rezolvă ecuația: Înmulțește cu (m−1)2(m-1)^2 și obține 4(m+1)2−2(m−2)(m−1)=4(m−1)24(m+1)^2 - 2(m-2)(m-1) = 4(m-1)^2. Simplifică și rezolvă: 4m2+8m+4−2m2+6m−4=4m2−8m+44m^2 + 8m + 4 - 2m^2 + 6m - 4 = 4m^2 - 8m + 4, care conduce la 2m2+14m=4m2−8m+42m^2 + 14m = 4m^2 - 8m + 4, deci 2m2−22m+4=02m^2 - 22m + 4 = 0, sau m2−11m+2=0m^2 - 11m + 2 = 0. Soluțiile sunt m=11±121−82=11±1132m = \frac{11 \pm \sqrt{121 - 8}}{2} = \frac{11 \pm \sqrt{113}}{2}. Verifică condiția m>−1m > -1: ambele soluții sunt mai mari decât -1, deci sunt acceptabile.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Funcția de gradul al II-lea

Mediu#1Funcția de gradul al II-leaIntegrale definiteMatematică aplicată
O companie estimează că profitul său lunar (în mii de euro) este dat de funcția P(t)=−t2+10t−16P(t) = -t^2 + 10t - 16, unde tt este timpul în luni, 1≤t≤81 \leq t \leq 8. Determinați intervalul de timp în care compania înregistrează profit și calculați profitul total pe acest interval.
Ușor#2Funcția de gradul al II-leaAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Gasiti valoarea lui b pentru care radacinile ecuatiei 24x2+bx+25=024x^2 + bx + 25 = 0 sunt pozitive si x2=1.5x1.x_2 = 1.5 x_1.
Mediu#3Funcția de gradul al II-leaDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (3∣x∣−3)2=∣x∣+7(3|x| - 3)^2 = |x| + 7 care apartin domeniului functiei y=x(x−3).y = \sqrt{x(x - 3)}.
Ușor#4Funcția de gradul al II-leaLogaritmiDomeniul de definiție al funcțiilor
Gasiti toate solutiile ecuatiei (2∣x∣−1)2=∣x∣(2|x| - 1)^2 = |x| care apartin domeniului functiei y=log⁡(4x−1).y = \log(4x - 1).
Vezi toate problemele de Funcția de gradul al II-lea →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Funcția de gradul al II-lea cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.