MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriMatriciLegi de compoziție
Fie mulțimea G={(ab01)∣a,b∈R,a≠0}G = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \mid a, b \in \mathbb{R}, a \neq 0 \right\}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este un grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor. Determinați dacă acest grup este abelian.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Verificarea închiderii: pentru A=(ab01),B=(cd01)∈GA = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, B = \begin{pmatrix} c & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G, produsul AB=(acad+b01)AB = \begin{pmatrix} ac & ad + b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Deoarece a,c≠0a,c \neq 0, avem ac≠0ac \neq 0, deci AB∈GAB \in G.
22 puncte
Asociativitatea: înmulțirea matricelor este asociativă, deci (AB)C=A(BC)(AB)C = A(BC) pentru orice A,B,C∈GA,B,C \in G.
32 puncte
Elementul neutru: matricea I=(1001)∈GI = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \in G (cu a=1,b=0a=1, b=0), și AI=IA=AAI = IA = A pentru orice A∈GA \in G.
42 puncte
Elementul simetric: pentru A=(ab01)A = \begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, inversa este A−1=(1a−ba01)A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{a} & -\frac{b}{a} \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, care este în GG deoarece 1a≠0\frac{1}{a} \neq 0, și AA−1=A−1A=IAA^{-1} = A^{-1}A = I.
52 puncte
Comutativitatea: se verifică dacă AB=BAAB = BA pentru orice A,B∈GA,B \in G. Calculăm AB=(acad+b01)AB = \begin{pmatrix} ac & ad + b \\ 0 & 1 \end{pmatrix} și BA=(cacb+d01)BA = \begin{pmatrix} ca & cb + d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}. Pentru AB=BAAB = BA, trebuie ad+b=cb+dad + b = cb + d, ceea ce nu este adevărat în general (de exemplu, pentru a=2,b=1,c=3,d=0a=2, b=1, c=3, d=0, ad+b=1ad+b=1 și cb+d=3cb+d=3), deci grupul nu este abelian.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.