MediuPolinoameClasa 10

Problemă rezolvată de Polinoame

MediuPolinoameNumere Complexe
Fie polinomul P(X)=X3+aX2+bX+cP(X) = X^3 + aX^2 + bX + c cu coeficienți reali. Știind că 1+i1+i este rădăcină a lui PP și că P(2)=10P(2) = 10, determinați coeficienții a,b,ca, b, c.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Deoarece coeficienții sunt reali, dacă 1+i1+i este rădăcină, atunci și conjugata sa 1−i1-i este rădăcină. Notăm a treia rădăcină cu rr.
24 puncte
Scriem polinomul sub formă factorizată: P(X)=(X−(1+i))(X−(1−i))(X−r)=(X2−2X+2)(X−r)P(X) = (X - (1+i))(X - (1-i))(X - r) = (X^2 - 2X + 2)(X - r).
33 puncte
Folosim condiția P(2)=10P(2) = 10: P(2)=(4−4+2)(2−r)=2(2−r)=10P(2) = (4 - 4 + 2)(2 - r) = 2(2 - r) = 10, deci 2−r=52 - r = 5, r=−3r = -3. Apoi dezvoltăm pentru a găsi coeficienții: P(X)=(X2−2X+2)(X+3)=X3+3X2−2X2−6X+2X+6=X3+X2−4X+6P(X) = (X^2 - 2X + 2)(X + 3) = X^3 + 3X^2 - 2X^2 -6X + 2X +6 = X^3 + X^2 -4X +6. Deci a=1,b=−4,c=6a=1, b=-4, c=6.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Polinoame

Mediu#1PolinoameInele și corpuri
Considerăm inelul de polinoame Z3[x]\mathbb{Z}_3[x] peste corpul Z3\mathbb{Z}_3 cu trei elemente. Determinați toate polinoamele ireductibile de grad 2 în Z3[x]\mathbb{Z}_3[x]. Demonstrați că inelul coeficient Z3[x]/(f(x))\mathbb{Z}_3[x]/(f(x)) este un corp pentru orice polinom ireductibil f(x)f(x) de grad 2.
Mediu#2PolinoameInele și corpuri
Fie K=Z2K = \mathbb{Z}_2 corpul cu două elemente și fie f(x)=x2+x+1∈K[x]f(x) = x^2 + x + 1 \in K[x]. Arătați că inelul factor K[x]/(f(x))K[x] / (f(x)) este un corp. Găsiți toate elementele acestui corp și verificați că are 4 elemente.
Ușor#3PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeContinuitate
Calculați limita: lim⁡x→−2x4+5x3+6x2x2−3x−10\lim_{x\to -2} \frac{x^4 + 5x^3 + 6x^2}{x^2 - 3x - 10}.
Ușor#4PolinoameAlgebră și Calcule cu Numere RealeStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x4−2x2+1x3−1\lim_{x\to 1}\frac{x^4-2x^2+1}{x^3-1}.
Vezi toate problemele de Polinoame →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Polinoame cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.