MediuGrupuriClasa 12

Problemă rezolvată de Grupuri

MediuGrupuriLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea G={x∈R∣x>−1}G = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > -1 \} și operația ∗* definită prin x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy pentru orice x,y∈Gx, y \in G. Demonstrați că (G,∗)(G, *) este grup.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se verifică închiderea: pentru orice x,y>−1x, y > -1, avem x∗y=x+y+xyx * y = x + y + xy. Calculăm x+y+xy+1=(x+1)(y+1)>0x+y+xy+1 = (x+1)(y+1) > 0 deoarece x+1>0x+1 > 0 și y+1>0y+1 > 0, deci x∗y>−1x * y > -1, adică x∗y∈Gx * y \in G.
23 puncte
Se verifică asociativitatea: pentru orice x,y,z∈Gx, y, z \in G, (x∗y)∗z=(x+y+xy)∗z=x+y+xy+z+(x+y+xy)z=x+y+z+xy+xz+yz+xyz(x * y) * z = (x+y+xy) * z = x+y+xy + z + (x+y+xy)z = x+y+z+xy+xz+yz+xyz, iar x∗(y∗z)=x∗(y+z+yz)=x+y+z+yz+x(y+z+yz)=x+y+z+xy+xz+yz+xyzx * (y * z) = x * (y+z+yz) = x + y+z+yz + x(y+z+yz) = x+y+z+xy+xz+yz+xyz, deci (x∗y)∗z=x∗(y∗z)(x * y) * z = x * (y * z).
32 puncte
Se determină elementul neutru: fie e∈Ge \in G astfel încât x∗e=xx * e = x pentru orice x∈Gx \in G. Atunci x+e+xe=x⇒e(1+x)=0x + e + xe = x \Rightarrow e(1+x)=0, și cum 1+x>01+x > 0, rezultă e=0e=0. Verificăm: x∗0=x+0+x⋅0=xx * 0 = x + 0 + x\cdot0 = x și 0∗x=0+x+0⋅x=x0 * x = 0 + x + 0\cdot x = x, deci 00 este element neutru.
43 puncte
Se determină inversul: pentru fiecare x∈Gx \in G, căutăm y∈Gy \in G astfel încât x∗y=0x * y = 0. Avem x+y+xy=0⇒y(1+x)=−x⇒y=−x1+xx + y + xy = 0 \Rightarrow y(1+x) = -x \Rightarrow y = -\frac{x}{1+x}. Deoarece x>−1x > -1, 1+x>01+x > 0, și verificăm că y>−1y > -1: −x1+x>−1⇔−x>−1−x⇔0>−1-\frac{x}{1+x} > -1 \Leftrightarrow -x > -1-x \Leftrightarrow 0 > -1, adevărat. Astfel, inversul lui xx este y=−x1+x∈Gy = -\frac{x}{1+x} \in G.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Grupuri

Mediu#1GrupuriLegi de compoziție
Fie GG un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este abelian.
Mediu#2GrupuriCombinatorică
Fie S3S_3 grupul permutărilor de trei elemente. Determinați toate subgrupurile lui S3S_3 și arătați care dintre acestea sunt normale.
Mediu#3GrupuriMatrici
Fie mulțimea G={A∈M2(R)∣det⁡(A)=1}G = \{ A \in M_2(\mathbb{R}) \mid \det(A) = 1 \}. Demonstrați că (G,⋅)(G, \cdot) este grup, unde ⋅\cdot este înmulțirea matricelor.
Mediu#4Grupuri
Fie (G,∗)(G, *) un grup cu proprietatea că pentru orice x∈Gx \in G, x2=ex^2 = e, unde ee este elementul neutru. Demonstrați că GG este grup abelian.
Vezi toate problemele de Grupuri →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Grupuri cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.